素理想

素理想把整数素数的整除性质推广到一般交换环。对素数 $p$，Euclid 引理给出 $p\mid ab$ 则 $p\mid a$ 或 $p\mid b$。由于 $p\mid a$ 等价于 $a\in (p)$，把主理想 $(p)$ 换成任意真理想 $\mathfrak{p}$，就得到素理想的定义。

从商环看，取商相当于把 $\mathfrak{p}$ 中的元素全部视为零，素性保证两个非零剩余类的乘积仍非零。从原环看，这等价于补集 $R\setminus \mathfrak{p}$ 对乘法封闭：两个都不在 $\mathfrak{p}$ 中的元素相乘，结果也在外面。这一补集随后可用作局部化的分母集。

在 $\mathbb{Z}$ 中，素数 $p$ 生成的 $(p)$ 是素理想，而 $(6)$ 不是：$2\cdot 3=6\in (6)$，但两个因子都不在 $(6)$ 中。零理想也素，因为 $\mathbb{Z}$ 是整环；它却不极大，因为 $(0)⊊(2)⊊\mathbb{Z}$。

在域 $F$ 上的一元环 $F[x]$ 中，非零素理想由不可约多项式生成，而且全部极大。在二元环中则有更长的素理想链

其中 $(x)$ 的商是整环 $F[y]$，$(x,y)$ 的商是域 $F$，所以前者素而非极大，后者极大。

素理想也可以由多个元素生成。例如 $(x,y)$ 若等于 $(d)$，则 $d$ 同时整除 $x,y$，只能是单位；但 $(x,y)$ 中的多项式在原点都为零，不能含有 $1$，因此它不是主理想。对于非零主理想，则有元素判据：在整环中，$p$ 是素元公理库素元Prime element整除乘积时必整除至少一个因子的非零非单位元素。当且仅当 $(p)$ 是非零素理想。

曲线也能给出素理想。在 $k[x,y]$ 中，理想

是素理想，因为代入 $y=x^2$ 给出

右侧是整环，但不是域，所以这个理想素而非极大。这里商映射把 $f(x,y)$ 送到 $f(x,x^2)$，用一个自由参数 $x$ 描述抛物线上的多项式。

保幺环同态公理库环同态Ring homomorphism保持加法与乘法的映射；保持单位元时称为保幺环同态。 $\phi :R\to S$ 把素理想沿逆像拉回：若 $\mathfrak{q}$ 素，且 $ab\in {\phi }^{-1}(\mathfrak{q})$，则 $\phi (a)\phi (b)\in \mathfrak{q}$，所以至少一个因子落入逆像。又因 $\phi (1)=1\notin \mathfrak{q}$，逆像为真理想。极大性则可能丢失：沿 $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$ 拉回 $(0)$，得到的 $(0)\subseteq \mathbb{Z}$ 只素不极大。

交换环的全体素理想构成谱 $\mathrm{Spec}R$，其中极大理想公理库极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。恰为闭点。素理想链

的长度记为 $n$，所有这种长度的上确界定义环的 Krull 维数。以 $R\setminus \mathfrak{p}$ 为分母集作环的局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。，则得到局部环 $R_{\mathfrak{p}}$，用于研究谱点 $\mathfrak{p}$ 附近的代数性质。

准素理想公理库准素理想Primary ideal准素理想允许商环有幂零零因子，却不允许非幂零零因子；通过厚直线与嵌入点反例区分素性、准素性与根为素。将素理想的乘积条件放宽为某个因子的幂落入理想，等价于商环中的零因子全为幂零元。它的根一定素，但根为素不足以推出准素；$(x^2,xy)$ 让 $y$ 杀死非零 $x$，却没有任何 $y$ 的幂为零，提供了直接反例。