理想

理想刻画哪些元素可以在取商时被统一视为零。若希望在陪集上定义

就必须保证更换代表元不会改变乘积。把 $(r+a)(s+b)$ 展开后，额外出现的 $rb$、$as$ 与 $ab$ 都应落回 $I$。这正是吸收性存在的原因。

吸收性让一个零关系自动包含它的乘法后果。例如把 $x^2$ 视为零，就也要把 $x^3=x\cdot x^2$ 和 $x^2(1+x)$ 视为零。理想 $(x^2)$ 把这些后果收集在一起。

双边理想与群论中的正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。都用于构造商对象：前者保证陪集的加法和乘法一致，后者保证群陪集的乘法一致。

整数环的全部理想都是

若 $I\ne \{0\}$，取 $I$ 中最小正整数 $n$。对任意 $a\in I$，带余除法给出 $a=qn+r$，其中 $0\le r<n$。因为 $r=a-qn\in I$，最小性迫使 $r=0$，所以 $a$ 是 $n$ 的倍数。由此 $I=n\mathbb{Z}$，说明 $\mathbb{Z}$ 是主理想整环公理库主理想整环Principal ideal domain · PID每个理想都由单个元素生成的整环。的原型。

在多项式环 $F[x]$ 中，求值同态

的核是所有在 $c$ 处为零的多项式。由因式定理，

这把“根”与“主理想”直接连接起来，也给出

子环未必是理想。$\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$ 对加法、乘法封闭，但

所以它不吸收 $\mathbb{Q}$ 的乘法，不是 $\mathbb{Q}$ 的理想。

在含幺环中，理想若含有一个可逆元 $u$，就必然等于全环。因为 $u^{-1}u=1\in I$，进而每个 $r=r\cdot 1$ 都在 $I$ 中。特别地，域只有零理想和全环两个理想；从域到非零含幺环的保幺同态因此必为单射。

在矩阵环 $M_n(F)$ 中，只有第一列可能非零的矩阵组成左理想：若 $A$ 属于这个集合，$BA$ 的第 $j$ 列就是 $B$ 乘以 $A$ 的第 $j$ 列，因此 $j>1$ 的列仍为零。当 $n\ge 2$ 时，它不是右理想。记 $E_{ij}$ 为只有第 $(i,j)$ 项是 $1$ 的矩阵，则 $E_{11}$ 在这个集合中，而 $E_{11}{E}_{12}=E_{12}$ 已把非零项移到了第二列。

同一矩阵环的双边理想只有零理想和全环。若双边理想包含非零矩阵 $A$，选取非零项 $a_{ij}$，便有 $E_{ki}A{E}_{j\ell }=a_{ij}{E}_{k\ell }$。乘以 $a_{ij}^{-1}$ 后，所有矩阵单位 $E_{k\ell }$ 都在理想中，它们的线性组合覆盖整个矩阵环。

理想还决定商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。中保留什么结构。在 $k[x,y]$ 中取

商中 $y$ 与 $x^2$ 都被压成零，因此

每个剩余类唯一写成 $a+b\overline{x}$。其中 $\overline{x}\ne 0$，却满足 ${\overline{x}}^2=0$，所以商环保留了一个平方为零的方向。

乘积环 $k\times k$ 中，$k\times \{0\}$ 与 $\{0\}\times k$ 都是理想。商去其中一个分量后留下另一个 $k$，而两个理想的乘积为零。

理想恰好是环同态公理库环同态Ring homomorphism保持加法与乘法的映射；保持单位元时称为保幺环同态。的核。任意同态 $\phi :R\to S$ 的核是吸收乘法的加法子群；反过来，每个双边理想 $I$ 都是自然投影

的核。第一同构定理于是给出

在含幺交换环中，$R/P$ 是整环当且仅当 $P$ 是素理想公理库素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。，而 $R/M$ 是域当且仅当 $M$ 是极大理想公理库极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。。前者要求商环中的非零乘数可消去，后者还要求全部非零元都有逆。

互素理想支撑环版本的中国剩余定理。若 $I+J=R$，则

这把一个商环拆成若干局部约束的乘积，也是整数同余分解、有限环计算和代数编码中的基础结构。

二次域中的元素与理想分解公理库二次域中的元素与理想分解Ideal factorization in Q(sqrt(-5))在整数环 Z[√−5] 中逐项计算主理想的素理想分解，并证明 (6) 的这一次分解唯一。给出乘积公式的完整应用：两生成元理想 $(2,1+\sqrt{-5})$ 的平方等于主理想 $(2)$，并用生成元的显式线性组合证明两个包含。

Noetherian 性要求每个理想有限生成，等价于理想升链最终稳定。对多项式理想，这意味着一族方程产生的全部代数关系可由有限个生成式表示。代数数论中的 Dedekind 环则具有另一种理想结构：每个非零真理想都能唯一分解为有限个非零素理想的乘积，即使元素本身没有唯一分解。