投射分解 | Codeboy's Blog

形式陈述

左 $R$ -模 $M$ 的投射分解是一个增广链复形

\cdots\xrightarrow{d_3}P_2\xrightarrow{d_2}P_1 \xrightarrow{d_1}P_0\xrightarrow{\varepsilon}M\to0,

满足每个 $P_n$ 都是投射模，且整个增广序列是正合列。换言之， $\varepsilon$ 满射， $\ker\varepsilon=\operatorname{im}d_1$ ，并对 $n\ge1$ 有

\ker d_n=\operatorname{im}d_{n+1}.

逐步记 $\Omega^1M=\ker(P_0\twoheadrightarrow M)$ 、 $\Omega^{n+1}M=\ker(P_n\twoheadrightarrow\Omega^nM)$ （ $n\ge1$ ），这些核称为关系模或 syzygy。若可取 $P_n=0$ 对所有 $n>d$ ，则称 $M$ 的投射维数至多 $d$ ；最小这样的非负整数 $d$ 是投射维数，不存在有限上界时记为 $\infty$ 。

模范畴有足够多投射对象，因此分解可递归构造：先选自由模满射 $P_0\twoheadrightarrow M$ ，再对其核选自由满射 $P_1\twoheadrightarrow\ker\varepsilon$ ，依次继续。每一步的自由模由所选生成元构造。

在一般 Abel 范畴中，投射对象 $P$ 的含义同样是提升性质：对每个满态射 $B\twoheadrightarrow C$ ，任一 $P\to C$ 都能提升为 $P\to B$ 。把上面的模换成对象、满射换成满态射，便定义该范畴中的投射分解。若每个对象都是某个投射对象的满态射像，即有足够多投射对象，就能逐次对核作同样的构造；这里不再要求存在自由模或元素生成集。

直觉

投射分解用一串“容易从中提升映射”的模逐层记录 $M$ 的关系。 $P_0$ 给生成元， $P_1$ 覆盖生成元之间的关系， $P_2$ 覆盖关系之间的关系，如此继续。正合性保证每一层没有额外误差：上一层留下的全部核，恰由下一层解释。

把末端的 $M$ 暂时拿掉，只看 $P_\bullet$ ，就有 $H_0(P_\bullet)=P_0/\operatorname{im}d_1\cong M$ ，而所有正次数同调为零。分解因此用投射模组成的复形保留了 $M$ ，又把生成元之间的关系逐层展开。不同选择产生的投射分解在链同伦意义下等价。

例子与边界

对 $n>1$ ， $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 有长度 $1$ 的自由分解

0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z \xrightarrow{q}\mathbb Z/n\mathbb Z\longrightarrow0.

两个 $\mathbb Z$ 都自由因而投射；乘 $n$ 单射，像为 $n\mathbb Z=\ker q$ 。所以

P_1=\mathbb Z,\qquad P_0=\mathbb Z,\qquad d_1=\times n

确实给出投射分解。对整数 $m\ge1$ ，把 $P_\bullet$ 与 $\mathbb Z/m\mathbb Z$ 作张量积后，微分变成

\mathbb Z/m\xrightarrow{\times n}\mathbb Z/m;

令 $d=\gcd(n,m)$ 。这个映射的核由 $[m/d]_m$ 生成，阶为 $d$ ；余核也同构于 $\mathbb Z/d\mathbb Z$ 。所以原来为零的一次同调，在张量后变成 $\mathbb Z/d\mathbb Z$ ，正好给出 $\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/n,\mathbb Z/m)$ 。当 $n,m$ 互素时它为零，有大于 $1$ 的公因子时则出现挠信息。

若增广满射 $P_0\twoheadrightarrow M$ 有模同态截面， $M$ 就是投射模 $P_0$ 的直和因子，从而自身投射。上面的 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 并不投射，因此这一步无法分裂，这也解释了为什么需要继续用 $P_1$ 记录关系。

对偶的内射分解从 $M$ 单射到内射对象，并向右逐步处理余核；投射分解则向 $M$ 满射，并向左逐步处理核。两种构造分别配合提升与延拓性质。

分解也可能无法在有限层终止。对 $R=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ 与 $K=R/(\varepsilon)$ ，每层乘 $\varepsilon$ 的自由分解是周期的，因为该映射的核与像都等于 $(\varepsilon)$ 。仅写出无限分解还不能证明投射维数无限；Tor 函子一页把它与 $K$ 张量，算出每阶 $\operatorname{Tor}_n^R(K,K)=K$ ，再用分解无关性排除任何有限投射分解，并与 $k[t]$ 上剩余域的长度一分解比较。

推论与应用

给定模同态 $f:M\to N$ 及两个投射分解 $P_\bullet\to M$ 、 $Q_\bullet\to N$ ，投射提升性质逐次构造链映射 $\widetilde f:P_\bullet\to Q_\bullet$ ，使增广方块交换。比较定理进一步说明任意两个这样的提升链同伦；若换另一组投射分解，也存在增广恒等的链同伦等价。

构造从将 $f\varepsilon_P:P_0\to N$ 沿 $Q_0\twoheadrightarrow N$ 提升开始。随后，复合 $\widetilde f_{n-1}d_n$ 的像落在 $\ker d_{n-1}^Q=\operatorname{im}d_n^Q$ 中（ $n=1$ 时把 $d_0^Q$ 理解为增广映射）。把 $d_n^Q:Q_n\twoheadrightarrow\operatorname{im}d_n^Q$ 看成满射，再利用 $P_n$ 的投射性便得到 $\widetilde f_n$ 。对两个选择之差逐次作同样的提升，就产生链同伦。

上述 Tor 页面进一步写出同伦的逐次方程：先从两个提升之差中减去已构造的同伦项，再证明剩余映射落在下一层微分的像中，最后利用投射性提升。张量保持这个可加的同伦方程，即使它不保持分解的正合性，仍然使两份计算在同调上互逆。

因此对右正合加性函子 $F$ ，复形 $F(P_\bullet)$ 的同调只依赖 $M$ ，不依赖分解和提升选择，定义左导出函子 $L_nF(M)$ 。张量函子的左导出函子是 Tor；反变函子 $\operatorname{Hom}_R(-,N)$ 则把 $P_\bullet$ 变成上链复形，其上同调计算 $\operatorname{Ext}_R^n(M,N)$ 。若 $M$ 本身投射，可取长度 $0$ 的分解，这些正次数导出量都为零。

有限维代数上若还要去掉选择中的冗余，可以每一步对当前核取投射盖。它要求核落在源的根层中；对 $k[t]/(t^3)$ 的单模，得到交替乘 $t$ 与 $t^2$ 的最小投射分解。

对本页的整数长度一分解，Ext 函子进一步把 Hom 复形的余核 $N/mN$ 还原成全部扩张：商生成元的提升 $e$ 满足 $me=i(c)$ ，改换提升恰使 $c$ 增加 $mN$ 中的元素。显式商群 $(N\oplus\mathbb Z)/\langle(-c,m)\rangle$ 证明每个余类都出现，Baer 和再与余类加法对应。

在导出范畴中，投射分解的增广拟同构可以求逆。该页证明有界上方投射复形到任意无同调复形的映射都零同伦，再由此证明从这类投射复形出发的导出态射可以直接用链映射模同伦计算。以 $\mathbb Z/2$ 的两项分解为例，目标移位为 $\mathbb Z[1]$ 后，整数参数按相差偶数取商，得到 $\mathbb Z/2$ 。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§§2.2 and 2.4。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 6, §§6.4–6.5。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §§4–6。

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