导出函子 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\mathcal A,\mathcal B$ 为 Abel 范畴， $F:\mathcal A\to\mathcal B$ 为加性函子。

若 $\mathcal A$ 有足够多投射对象且 $F$ 右正合，对 $A\in\mathcal A$ 选投射分解 $P_\bullet\twoheadrightarrow A$ ，取逐项施加 $F$ 后的同调，定义左导出函子

L_nF(A)=H_n(F(P_\bullet)),\qquad n\ge0.

由于 $F$ 右正合， $L_0F\cong F$ 。若 $\mathcal A$ 有足够多内射对象且 $F$ 左正合，选内射分解 $A\hookrightarrow I^\bullet$ ，定义右导出函子

R^nF(A)=H^n(F(I^\bullet)),\qquad n\ge0,

并有 $R^0F\cong F$ 。这里上标记录上同调次数，下标记录同调次数。

对态射 $f:A\to A'$ ，比较定理把 $f$ 提升为分解之间的链映射。不同提升彼此链同伦；加性函子保持同伦方程，取同调后就得到同一个态射。这同时给出了 $L_nF$ 、 $R^nF$ 在态射上的作用及其复合律。

若改用另一组分解，向两个方向提升 $1_A$ 。两次复合都提升恒等态射，因而分别与原分解的恒等链映射同伦。施加 $F$ 再取同调，就得到互逆的同构。因此导出函子的结果在与这些提升相容的典范同构下不依赖所选分解。

直觉

一个只有右正合性的函子能正确处理商，却可能把单射变坏；一个只有左正合性的函子能正确处理核，却可能漏掉末端满射。分解先用对该方向足够“无障碍”的对象替代输入，再逐项施加 $F$ 。新复形出现的同调就是正合性损失留下的残差。

在上述单侧正合条件下，零次导出函子恢复原函子。高次项则使原本断开的正合关系接成长正合列：一次项连接最初出现的缺口，更高次项继续记录后续同调。下面的张量例子可以把第一个缺口直接算出来。

例子与边界

固定正整数 $m,n$ ，考虑由张量积给出的右正合函子

F(-)=(-)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z/m\mathbb Z.

对 $A=\mathbb Z/n\mathbb Z$ 使用投射分解

0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z\to A\to0.

施加 $F$ 后得到

0\to\mathbb Z/m\mathbb Z \xrightarrow{\times n}\mathbb Z/m\mathbb Z\to0.

令 $d=\gcd(m,n)$ 。乘 $n$ 的核由 $[m/d]$ 生成，有 $d$ 个元素；余核也有 $d$ 个元素。因此

L_1F(A)\cong\mathbb Z/d\mathbb Z, \qquad L_0F(A)\cong\mathbb Z/d\mathbb Z,

而 $L_kF(A)=0$ 对 $k\ge2$ 。当 $d>1$ 时，一次项非零，具体说明张量没有保持原分解左端的单射。

投射条件可以与一个具体的错误计算对照。把 $A$ 本身放在次数 $0$ ，用恒等映射 $A\to A$ 作为增广，也得到一个正合的增广复形；逐项张量后，它在次数 $1$ 恒为零。取 $m=n=2$ ，上面的投射分解却给出 $L_1F(A)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ 。集中于零次的替代使用了非投射项 $A$ ，没有保留计算导出函子所需的分解条件。

反变 Hom 的计算会反转分解的方向。例如将 $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(-,\mathbb Z)$ 作用于 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 的上述投射分解，得到上链复形

0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z\to0.

其零次上同调为 $0$ ，一次上同调为 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ，即 $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n\mathbb Z,\mathbb Z)$ 。这也可以统一看成反范畴上的右导出：原范畴的投射对象在反范畴中成为内射对象。

在右导出已经按内射分解定义后，称对象 $J$ 为 $F$ -无环，若 $R^iF(J)=0$ 对所有 $i>0$ 成立。若正合列 $0\to A\to J^0\to J^1\to\cdots$ 的每项都 $F$ -无环，则同样可用 $H^n(F(J^\bullet))$ 计算 $R^nF(A)$ 。这把可用的分解从内射对象扩展到了针对当前函子无环的对象。

推论与应用

在上述存在性与单侧正合假设下，每个短正合列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ 都产生导出函子的长正合列。例如右导出函子给出

0\to F(A')\to F(A)\to F(A'') \to R^1F(A')\to R^1F(A)\to\cdots.

连接态射来自同调复形上的蛇引理，并对短正合列态射自然。

若 $F$ 本身正合，分解施加 $F$ 后仍正合，所以所有正次数导出函子为零。对单个投射对象，使用集中于零次的投射分解即可看出其左导出高次项消失；内射对象的右导出同理。这里消失的范围可以精确区分：例如 $-\otimes\mathbb Z/2\mathbb Z$ 在输入 $\mathbb Z$ 上没有高次项，在输入 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 上却有非零一次项。

Hom 的右导出产生 Ext，张量积的左导出产生 Tor。它们分别把扩张类与张量的正合性缺口组织成可沿短正合列计算的函子。

层上同调将这套构造用于全局截面函子，并实际构造足够内射层。圆周上绕行变号的整数层给出 $H^0=0$ 、 $H^1=\mathbb Z/2$ ；这个阶为2的挠元来自整数接缝差，不能由实数行消元看见。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§§2.4–2.5。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 6, §§6.5–6.7。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §§6–7。

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