概率密度函数

密度描述单位参考体积附近的概率强度。点或区间的概率要用密度对相应集合积分；短区间 $[x,x+h]$ 的概率在适当连续点附近约为 $f(x)h$。因此密度值可以大于一，点概率仍可以为零。

参考测度规定了概率强度按什么单位计量。在有限或可数离散空间上取计数测度时，这个参考测度是 $\sigma$-有限的，密度就是概率质量函数；实线取 Lebesgue 测度时，密度具有长度倒数的量纲。坐标或参考测度变化后，密度与体积元同步变化，使事件概率保持不变。

若 $X\sim U[0,1/2]$，则

密度最大值为 $2$ 并不违反概率上界，因为整个支撑长度只有 $1/2$，总积分仍为一。令 $Y=2X$，对一一可微变换使用 Jacobian，

坐标拉伸使单位长度内的质量强度减半，概率质量没有改变。在熵积分绝对可积且 $a\ne 0$ 时，把同一换元用于密度的平均负对数，就得到微分熵公理库微分熵Differential entropy · 连续熵连续密度的平均负对数，连接测量尺度、细量化熵与固定方差下的高斯最大熵。的尺度公式 $h(aX+b)=h(X)+{\log }_2|a|$；因此固定坐标单位是解释密度熵的一部分。

若 $g$ 在相关区间严格单调、连续可微且 $g^{\prime }$ 不为零，一维变换 $Y=g(X)$ 满足

对有多条可微反函数分支、且分支上导数非零的映射，各分支贡献相加。例如 $X$ 在 $[-1,1]$ 上均匀，$Y=X^2$。对 $0<y<1$，原像为 $\pm \sqrt{y}$，两支各贡献 $1/(4\sqrt{y})$，所以 $f_Y(y)=1/(2\sqrt{y})$；积分 ${\int }_0^1{f}_Y(y)dy=1$，保留了全部概率质量。

离散分布把正质量放在 Lebesgue 零测的单点上，因此没有 Lebesgue 密度；相对于计数测度则有质量函数。Cantor 分布同样集中在 Lebesgue 零集上，虽然每个单点质量都是零，也不对 Lebesgue 测度绝对连续。混合分布可以把原子质量、密度部分与奇异部分分别记录。

连续模型中，似然比较固定观测位置附近的概率强度。若密度在 $x$ 连续，小区间概率约为 $f(x)h$，而单点概率仍为零。这使“密度高”与“该点有正概率”成为不同的量。

若 $g$ 非负或可积，则

这将相对于分布的积分写成密度积分。若分布还有原子，则各原子贡献为函数值乘以原子质量；直接写 $\int gd\mu$ 可同时处理这些部分。

在多维空间中，Jacobian 行列式控制变量变换的体积缩放。联合密度对其余坐标积分得到边缘密度；联合密度几乎处处等于边缘密度的乘积，等价于独立。

边缘密度存在并不意味着联合密度存在。例如 $X$ 在 $[0,1]$ 上均匀，令 $Y=X$，两个边缘都均匀，联合分布却全部落在平面对角线上。这条线的二维 Lebesgue 测度为零，所以联合分布没有二维 Lebesgue 密度。

统计模型若被共同参考测度支配，就能把 $p_{\theta }(x)$ 在固定观测 $x$ 下看作似然函数。核密度估计则从样本估计未知的 $f$；估计得到的曲线是随机对象，其平滑偏差、抽样波动与真实分布是否存在密度是三个不同问题。