Sobolev 空间 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\Omega\subseteq\mathbb R^n$ 开， $k\in\mathbb N_0$ ， $1\le p\le\infty$ 。以弱导数和$L^p$ 空间为基础，定义

W^{k,p}(\Omega) =\{u\in L^p(\Omega):D^\alpha u\in L^p(\Omega)\text{ 对所有 }|\alpha|\le k\}.

函数按几乎处处相等取商。对 $p<\infty$ ，取范数

\|u\|_{W^{k,p}} =\left(\sum_{|\alpha|\le k}\|D^\alpha u\|_p^p\right)^{1/p};

$p=\infty$ 时取各项范数的最大值。 $W^{k,p}$ 是Banach 空间； $W^{k,2}$ 记为 $H^k$ ，内积 $\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha u\,D^\alpha v$ 使它成为实Hilbert 空间。复值函数时采用第一因子共轭的约定，即 $\langle u,v\rangle_{H^k}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega\overline{D^\alpha u}\,D^\alpha v$ 。

完备性可逐个弱导数验证。若 $(u_j)$ 在 $W^{k,p}$ 中 Cauchy， $L^p$ 的完备性给出 $D^\alpha u_j\to v_\alpha$ 于 $L^p$ ，记 $u=v_0$ 。对固定测试函数，Hölder 不等式允许在弱导数恒等式两侧取极限，因为该函数及其导数光滑且紧支撑；端点 $p=1,\infty$ 分别使用 $L^\infty,L^1$ 测试范数。于是 $D^\alpha u=v_\alpha$ ，从而 $u_j\to u$ 于 $W^{k,p}$ 。这个论证不要求在 $W^{k,\infty}$ 中以光滑函数作范数稠密逼近。

零边界空间的定义是

W_0^{1,p}(\Omega)=\overline{C_c^\infty(\Omega)}^{\,W^{1,p}}, \qquad H_0^1(\Omega)=W_0^{1,2}(\Omega).

闭包定义在一般开集上都有意义。将它识别为“边界迹为零的函数”则需要关于区域和迹算子的定理。

区间上的代表与端点迹

在 $(0,1)$ 上，每个 $u\in H^1(0,1)$ 都有唯一的绝对连续代表，满足

u(x)=u(0)+\int_0^x u'(t)\,dt,\qquad 0\le x\le1.

这里和下文的点值都指这个代表；复值函数对实部、虚部分别使用绝对连续代表定理。该结论来自一维弱导数刻画： $u,u'\in L^2\subset L^1$ ，所以弱导数可以沿区间积分还原函数。特别地，两个处处连续且几乎处处相等的代表必然处处相等，端点值因而不依赖代表的任意选择。

由 $u(0)=u(x)-\int_0^x u'(t)\,dt$ ，对 $x$ 积分并用Cauchy–Schwarz 不等式可得

|u(0)|\le\|u\|_2+\|u'\|_2\le\sqrt2\|u\|_{H^1}.

从右端积分同样得到 $|u(1)|\le\sqrt2\|u\|_{H^1}$ 。所以端点取值是连续线性泛函； $H^1$ 收敛会带来端点值收敛。在这个区间上有精确刻画

H_0^1(0,1)=\{u\in H^1(0,1):u(0)=u(1)=0\}.

一个方向直接来自迹的连续性：紧支撑光滑函数的端点值为零，闭包也如此。反方向可这样理解其逼近构造：先把零端点函数向区间外延拓为零；分部积分时端点项消失，因此零延拓仍有 $L^2$ 弱导数。再将其支撑稍微向区间内部压缩，并以更小尺度的光滑近似恒等核作光滑化，得到 $C_c^\infty(0,1)$ 中的逼近。平移、伸缩与光滑化在 $L^2$ 中对函数及其一阶导数都连续，故逼近在 $H^1$ 范数下成立。这也说明零迹为何恰好消除了延拓时可能出现的边界跳跃。

一维 Sobolev 估计：从积分控制到连续模

为看清区间长度的作用，以下取 $I=(0,L)$ ， $L>0$ 。上述代表与零迹刻画经伸缩仍成立。对连续函数定义二分之一 Hölder 半范数

[u]_{1/2}=\sup_{\substack{x,y\in[0,L]\\x\ne y}} \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{1/2}}.

每个 $u\in H^1(I)$ 的绝对连续代表满足

[u]_{1/2}\le\|u'\|_2, \qquad \|u\|_\infty\le L^{-1/2}\|u\|_2+L^{1/2}\|u'\|_2.

第一式的证明直接来自沿区间积分。若 $x<y$ ，则

|u(y)-u(x)| =\left|\int_x^y u'(t)\,dt\right| \le (y-x)^{1/2}\left(\int_x^y|u'(t)|^2\,dt\right)^{1/2} \le (y-x)^{1/2}\|u'\|_2.

第二式还须控制常数方向：固定 $x$ ，将 $|u(x)|\le|u(t)|+\int_0^L|u'|$ 对 $t$ 取平均，再分别使用 Cauchy–Schwarz，便得所述界。于是，以 $\|u\|_\infty+[u]_{1/2}$ 为范数的 $C^{0,1/2}([0,L])$ 接收一个有界线性的代表映射。这里的“嵌入”指同一个几乎处处等价类取得唯一连续代表，而且它的连续性能够由 $H^1$ 范数定量控制。

直觉

Sobolev 范数同时测量“函数有多大”和“函数怎样变化”。它允许折线的尖点，因为一阶弱导数只需可积；它不允许把函数的跳跃偷偷当作普通导数忽略。完备性保证 Cauchy 序列的极限仍在空间内，有界序列本身并不一定按范数收敛。例如交替取 $v$ 与 $-v$ ，其中 $v\ne0$ ，就给出一个有界而不收敛的序列。

边界条件还有一个分析作用：它把常数方向去掉。对所有 $H^1$ 函数， $\|u'\|_2$ 只是半范数，因为任何常数的导数都是零；对零端点函数，导数反而足以控制整个函数。

二分之一 Hölder 估计说明，在长度为 $h$ 的小区间内，函数的增量至多是 $\sqrt h$ 乘总导数能量的平方根。它控制的是变化的幅度，不要求导数处处存在或有界。两个零端点则提供更多信息：到某个内点上升以后，函数还必须回到零，这一来一回都会消耗能量。下文的最优点值常数会同时计入两段距离。

一维 Poincaré 不等式与能量范数

若 $v\in H_0^1(0,1)$ ，由 $v(0)=0$ ，

|v(x)|^2=\left|\int_0^x v'(t)\,dt\right|^2 \le x\int_0^x|v'(t)|^2\,dt \le x\|v'\|_2^2.

积分得到

\|v\|_2^2\le\frac12\|v'\|_2^2, \qquad \|v'\|_2\le\|v\|_{H^1}\le\sqrt{\frac32}\|v'\|_2.

这个常数足以建立理论，无须在此求最优值。于是 $\|v\|_V=\|v'\|_2$ 是 $H_0^1$ 上与原范数等价的能量范数。由于 $H_0^1$ 是 $H^1$ 的闭子空间，等价范数保留完备性；实值情形的内积 $\int_0^1v'w'$ 因而给出一个 Hilbert 空间；复值情形采用 $\int_0^1\overline{v'}w'$ 。后续 Poisson 弱问题中的强制性正是建立在这里。

例子与边界

光滑弧线、帐篷与跳跃

取 $v(x)=x(1-x)$ ，直接积分得到

\|v\|_2^2=\int_0^1x^2(1-x)^2\,dx=\frac1{30}, \qquad \|v'\|_2^2=\int_0^1(1-2x)^2\,dx=\frac13.

它属于 $H_0^1$ ，也满足上面的不等式 $1/30\le1/6$ 。连续帐篷 $v(x)=\min\{x,1-x\}$ 同样属于 $H_0^1$ ：弱导数在两个半区间分别是 $1$ 和 $-1$ ，顶点的尖角并不产生一阶 Dirac 项。相反，阶跃 $\mathbf1_{(1/2,1)}$ 在接口有跳跃，其分布导数是 Dirac 质量，不能用 $L^2$ 函数表示，因而不属于 $H^1$ 。同理， $|x|\in W^{1,p}((-1,1))$ 对所有 $1\le p\le\infty$ 成立。

这个帐篷还给出可直接复算的极值例子： $\|v'\|_2^2=1/2+1/2=1$ ，而 $\|v\|_\infty=v(1/2)=1/2$ 。因此若要对所有 $H_0^1(0,1)$ 函数写出 $\|v\|_\infty\le C\|v'\|_2$ ，常数 $C$ 至少为 $1/2$ 。下面会证明 $1/2$ 确实足够。

Schwartz 分布进一步解释了帐篷与跳跃的差别：连续帐篷的一阶弱导数虽然是函数，其二阶分布导数却含 Dirac 项。因此它属于 $H_0^1$ 而不属于 $H^2$ ；将上述帐篷缩放为一半，便得到满足 $-D^2G=\delta_{1/2}$ 的零边界点源解，其能量 $\|G'\|_2^2=1/4$ 。

连续还不够，维数也不能省略

在 $(0,1)$ 上， $u_1(x)=x^{3/4}$ 的弱导数 $(3/4)x^{-1/4}\in L^2$ ，所以 $u_1\in H^1$ ； $u_2(x)=x^{1/2}$ 的导数平方与 $1/x$ 同阶，积分发散，所以 $u_2\notin H^1$ 。二者都连续，成员资格却不同。

一维结论不能直接移到高维。先看 $n>2$ ：设区域包含原点附近的一个球，取 $\varphi\in C_c^\infty(B_1)$ 且 $\varphi(0)=1$ 。对充分小的 $\varepsilon>0$ ，令

u_\varepsilon(x)=\varepsilon^{1-n/2}\varphi(x/\varepsilon).

换元 $y=x/\varepsilon$ 给出

\|\nabla u_\varepsilon\|_2=\|\nabla\varphi\|_2, \qquad \|u_\varepsilon\|_2=\varepsilon\|\varphi\|_2, \qquad u_\varepsilon(0)=\varepsilon^{1-n/2}\longrightarrow\infty.

这些函数甚至光滑且紧支撑， $H^1$ 范数保持有界，中心值却无界。因此不存在统一的点值估计 $|u(0)|\le C\|u\|_{H^1}$ 。集中在更小区域中的高峰，可以躲过高维的一阶能量控制。

二维是临界情形，上面的缩放不再使中心值变大，需要另一个构造。在单位圆盘中选光滑截断 $0\le\chi\le1$ ，使它在 $r=|x|<1/4$ 时为 $1$ 、在 $r\ge1/2$ 时为 $0$ ，并令

w(x)=\chi(x)\log\!\log\frac e{|x|}\qquad(x\ne0).

原点处可任意赋值。它在原点附近无界，但属于 $L^2$ ：极坐标积分中的面积因子 $r$ 足以压住双重对数。更具体地，代换 $s=\log(e/r)$ 后，相应积分与 $\int^\infty(\log s)^2e^{-2s}\,ds$ 只差常数和下限。内圆盘中梯度长度为 $1/(r\log(e/r))$ ，所以

\int_{|x|<1/4}|\nabla w|^2\,dx =2\pi\int_0^{1/4}\frac{dr}{r\log^2(e/r)} =\frac{2\pi}{\log(4e)}<\infty.

截断变化的环带远离原点，函数和导数都光滑有界。为确认这些普通导数确实是弱导数，在去掉半径 $\rho$ 小圆盘的区域上分部积分；内边界项的绝对值不超过测试函数上界乘 $2\pi\rho\log\log(e/\rho)$ ，趋于零。函数与候选导数的可积性允许其余积分取极限，故 $w\in H^1$ 。它在任意原点邻域中都本质无界，因而没有连续代表。

同一构造也排除了二维的有界点值泛函。对 $M>0$ ，在原点以外将 $w$ 截为 $w_M=\min(w,M)$ ，并令 $w_M(0)=M$ 。它在原点附近恒等于 $M$ ，截平部分的导数为零，其余部分保留原导数，所以 $L^2$ 范数和梯度平方积分均不增。把零延拓的 $w_M$ 用支撑足够小、积分为 $1$ 的非负光滑核卷积，得到紧支撑光滑函数：卷积在原点仍取值 $M$ ，而函数与梯度的 $L^2$ 范数不增。于是光滑测试函数的点值也可在有界 $H^1$ 范数下趋于无穷。

以上反例可以平移、缩放到任意开集的内点附近，说明 $n\ge2$ 时不能把一维点值估计当作一般结论。适当区域上的一般 Sobolev 嵌入还取决于维数、阶数与可积指数，常见连续性充分阈值为 $kp>n$ ；本条的一维推导并未证明整个嵌入定理族。边界迹也不等于内部逐点取值。 $p<1$ 时上面的表达式不再给出 Banach 范数，不属于本条定义范围。

推论与应用

零端点空间中的最优点值估计

取 $V=H_0^1(0,L)$ ，仍使用能量范数 $\|u\|_V=\|u'\|_2$ 。区间伸缩后的 Poincaré 不等式保证它确实是完备范数。固定 $a\in[0,L]$ ，由于两个端点都为零， $\int_0^Lu'=0$ ，故

u(a)=\int_0^a u'(t)\,dt =\int_0^L\left(\mathbf1_{(0,a)}(t)-\frac aL\right)u'(t)\,dt.

从核中减去 $a/L$ 没有改变积分，却用上了右端点条件。这个核的平方积分恰为

a\left(1-\frac aL\right)^2+(L-a)\left(\frac aL\right)^2 =\frac{a(L-a)}L.

再次使用 Cauchy–Schwarz，得到

|u(a)|^2\le\frac{a(L-a)}L\,\|u'\|_2^2, \qquad \|u\|_\infty\le\frac{\sqrt L}{2}\|u'\|_2.

后一个结论来自 $a(L-a)\le L^2/4$ 。它比只从左端积分得到的 $|u(a)|\le\sqrt a\|u'\|_2$ 更精确：点靠近任意一侧零边界时，允许的幅度都会减小。

对内点 $0<a<L$ ，前一不等式取等号，当且仅当存在标量 $c$ 使

u'=c\left(\mathbf1_{(0,a)}-\frac aL\right) \quad\text{几乎处处}, \qquad u=cG_a,\qquad G_a(x)=\min(x,a)-\frac{ax}L.

这是 Cauchy–Schwarz 的等号条件，再由 $u(0)=0$ 积分得到。直接计算可见 $G_a(a)=a(L-a)/L=\|G_a'\|_2^2$ ，所以常数无法缩小。对上确界估计，非零函数取等号恰为中点帐篷 $cG_{L/2}$ ：达到最大幅度的位置必须同时让点值估计取等号并满足 $a(L-a)=L^2/4$ 。零函数当然也取等号。在 $a=0,L$ 时，点值本来恒为零，所有函数均取等号，不能再沿用内点的非零核刻画。

点源的精确能量对偶范数

记 $\ell_a(u)=u(a)$ 。其相对于能量范数的对偶范数为

\|\ell_a\|_{V^*} =\sup_{\|u'\|_2\le1}|u(a)| =\sqrt{\frac{a(L-a)}L}.

上界已由前式得到；内点处以 $G_a/\|G_a'\|_2$ 测试即取得上界，端点则是零泛函。这里明确使用 $\|u'\|_2$ ，换成完整 $H^1$ 范数后不能直接宣称同一个最优常数。对内点， $\ell_a$ 在光滑测试函数上就是 Dirac 分布 $\delta_a$ ，其能量连续延拓由此得到精确大小。端点的零评价仅指零迹空间上的泛函；它不是开区间内的点源。

上述核还满足 $\int_0^LG_a'v'=v(a)$ ，因而是 $-u''=\delta_a$ 的零边界弱解。若点源强度为 $q$ ，解就是 $qG_a$ ，并且

\|(qG_a)'\|_2=|q|\sqrt{\frac{a(L-a)}L}, \qquad (qG_a)(a)=q\frac{a(L-a)}L.

例如在单位区间取 $a=1/2$ 、 $q=1$ ，点源泛函范数为 $1/2$ ，解在源点高为 $1/4$ ，导数平方积分为 $1/4$ 。这些数分别描述荷载的作用强度、位移和能量，彼此相关却不是同一个量。

回到变分问题与有限元

三维中应把点值控制换成可积性控制：Sobolev 嵌入与紧性证明有界开集上的 $H_0^1$ 连续嵌入 $L^6$ ，并紧嵌入每个 $L^q$ 、 $q<6$ 。其中的缩放尖峰保留梯度能量与六次积分，却在所有次临界指数下趋零，明确区分了连续嵌入与紧嵌入。

最优上确界估计给出 $\|v\|_\infty\le\tfrac12\|v'\|_2$ ，因此对 $H_0^1(0,1)$ 中的实值函数，四次势能满足 $\int v^4\le\tfrac1{16}\|v'\|_2^4$ ，总是有限。变分法的直接法利用这一事实和连续的逐点评价，证明 $-u''+u^3=f$ 的零边界弱解存在唯一，并算出一个显式极小点；这一逐点论证依赖一维结构。

变分形式可以在 $H_0^1$ 的能量范数中处理 $\int u'v'$ ：连续性由 Cauchy–Schwarz 得到，强制性常数直接等于 $1$ ，右端 $\int fv$ 的有界性则由刚才的 Poincaré 不等式得到。空间、边界和估计在这里构成了一条实际可用的论证链。

有限元方法中的连续分片一次函数属于这个能量空间；节点处导数不连续不会破坏协调性。提高逼近阶则需要精确解拥有更高的 Sobolev 正则性，例如 $H^2$ 控制一阶导数在各单元内的变化。Hölder 不等式可将这种乘积估计推广到不同可积指数，嵌入与紧性定理则进一步说明哪些积分控制能够换成连续性或收敛。

参考资料

Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010，第 5 章，弱导数、Sobolev 空间及逼近。
Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，第 8 章，一维 Sobolev 空间与绝对连续代表；第 9 章，高维情形。
Alexandre Ern and Jean-Luc Guermond, Finite Elements, Texas A&M MATH 661 Fall 2025 课程讲义，第 3 章 Traces and Poincaré inequalities，§3.2.1 定义 3.9、定理 3.10，以及 §3.3 引理 3.27；正文给出这些结构的一维初等推导。
John K. Hunter, Notes on Partial Differential Equations，第 3 章 §§3.7–3.8，定理 3.28、3.36–3.37，印刷页 60–70：Sobolev 可积性嵌入与 Hölder 连续性所处的不同参数范围。
Alexandre Ern and Jean-Luc Guermond，同一 Fall 2025 课程讲义，第 2 章 Weak derivatives and Sobolev spaces，§2.3.2，定理 2.26、评注 2.27、例 2.33、练习 2.10，印刷页 21–24：连续代表和二维临界反例。本文的区间点值最优常数、等号条件与点源范数均在正文直接推导。

形式陈述 ​

区间上的代表与端点迹 ​

一维 Sobolev 估计：从积分控制到连续模 ​

一维 Poincaré 不等式与能量范数 ​

光滑弧线、帐篷与跳跃 ​

连续还不够，维数也不能省略 ​

零端点空间中的最优点值估计 ​

点源的精确能量对偶范数 ​

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