弱拓扑与弱收敛

范数收敛要求整个误差一起变小；弱收敛要求任何预先固定的连续线性测量都看不到残余误差。弱邻域只同时规定有限次测量的误差，因此可以容纳在其他方向上仍然很大的向量。把拓扑放弱的收益是更容易保留极限，代价是不能从这些读数恢复范数收敛。

图中每一行是一条序列向量 $e_n$，不是有限维平面里趋向原点的箭头。蓝色的单位脉冲移向更后的坐标；对固定 $y\in {\ell }^2$，测量结果为 $⟨y,e_n⟩=\overline{y_n}\to 0$。使每次读数保持为一的选择 $y=e_n$ 随 $n$ 改变，不是弱收敛定义中的固定探针。

标准基为什么只弱收敛 ​

在 ${\ell }^2$ 中，平方可和意味着 $y_n\to 0$，所以 $e_n\rightharpoonup 0$。然而

这个有界序列甚至没有范数 Cauchy 子列，清楚地说明无限维闭单位球不必范数紧。弱下半连续在这里给出 $0\le 1$，并不承诺范数在极限中保持相等。

仅检验每个坐标而没有统一范数界，也不够推出弱收敛。例如 $x_n=n{e}_n$ 的每个固定坐标最终为零，但取 $y_n=n^{-3/4}$，就有 $y\in {\ell }^2$ 而 $⟨y,x_n⟩=n^{1/4}$ 发散。相反，若序列范数有界，稠密测试集上的收敛可以用统一误差估计推广到全部测试向量。

有界序列怎样抽出弱子列 ​

设 $\Vert x_n\Vert \le M$，先假定 $H$ 可分，取稠密序列 $d_1,d_2,\dots$。对每个 $j$，标量序列 $⟨x_n,d_j⟩$ 有界。对这些实或复标量使用Bolzano–Weierstrass 定理公理库Bolzano–Weierstrass 定理Bolzano–Weierstrass theorem实数空间中的每个有界序列都存在收敛子列。，依次抽取子列，再取对角子列 $x_{n_k}$，使这些读数对所有 $j$ 都收敛。

对于任意 $y\in H$，选 $d_j$ 逼近它。估计

说明 $⟨x_{n_k},y⟩$ 是 Cauchy 序列。于是 $L(y)=\underset{k}{lim}⟨x_{n_k},y⟩$ 对每个 $y$ 都有定义，且 $L$ 线性、$|L(y)|\le M\Vert y\Vert$。Riesz 表示给出 $x\in H$，使 $L(y)=⟨x,y⟩$；取共轭就得到 $x_{n_k}\rightharpoonup x$。

一般的 $H$ 不必可分，但这个序列总落在可分闭子空间 $H_0=\overline{\mathrm{span}\{x_n:n\ge 1\}}$ 中。在 $H_0$ 内完成上述抽取后，对任意 $y\in H$，由投影定理公理库Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。作正交分解 $y=y_0+y_{\perp }$。所有 $x_n$ 及所得 $x$ 都与 $y_{\perp }$ 正交，故 $H_0$ 内的弱收敛就是全空间中的弱收敛。这里可分的是序列所占据的子空间，不是定理对整个空间的额外要求。

把同一构造用于 Lp 函数 ​

设 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^d$ 是有界 Lebesgue 可测集，$1<p<\mathrm{\infty }$，$q=p/(p-1)$。先取实函数。$L^p$ 对偶表示公理库L^p 空间L-p space · Lebesgue space按几乎处处相等取商的积分范数空间；从尖峰和完备性走到共轭指数的对偶表示，并证明有限测度下的反身性。把每个连续线性泛函写成 $f\mapsto {\int }_{\mathrm{\Omega }}fg$，其中 $g\in L^q$。因而

这个测试类没有只剩连续函数，也没有要求探针随 $n$ 适应尖峰。所有固定的 $L^q$ 函数都要通过检验。

若 $\Vert f_n{\Vert }_p\le M$，可以具体完成抽取。先取 $L^q(\mathrm{\Omega })$ 的可数稠密族 $(g_j)$：例如将有理系数、有限个有理端点盒子的指示函数的线性组合限制到 $\mathrm{\Omega }$。这族函数可数；稠密性来自简单函数逼近，再用 Lebesgue 测度的正则性以有限盒子并逼近各可测集，因为指示函数间的 $L^q$ 距离是对称差测度的 $1/q$ 次方。

每个标量列 $\int f_n{g}_j$ 都有界，依次抽取再取对角下标，得到 $(f_{n_k})$，使所有这些积分收敛。对任意 $g\in L^q$，Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。给出

先选足够接近 $g$ 的 $g_j$，再取足够大的 $k,\ell$，即可证明左侧趋于零。因此

对每个 $g$ 都存在，且 $L$ 线性、$|L(g)|\le M\Vert g{\Vert }_q$。对 $L^q$ 使用对偶表示，得到某个 $f\in L^p$，使 $L(g)=\int fg$。这恰好证明 $f_{n_k}\rightharpoonup f$，并给出 $\Vert f{\Vert }_p\le M$。复函数可对实部、虚部同时抽取，或直接使用复对偶表示。

整个证明分清了两项工作：稠密探针使全部读数沿同一子列收敛，对偶表示保证读数确实来自一个函数。这里直接完成了有界 Lebesgue 区域的序列结论，无须先借一般弱紧性定理把拓扑紧性转成子列紧性。

指数端点怎样改变集中现象 ​

在 $(0,1)$ 上取 $u_n=n^{1/p}{\mathbf{1}}_{(0,1/n)}$。它的 $p$ 次积分恰为 $1$，所以 $\Vert u_n{\Vert }_p=1$。对任意固定 $g\in L^q$，

最后一步对 $|g{|}^q{\mathbf{1}}_{(0,1/n)}$ 使用控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。：它逐点趋零，并由可积函数 $|g{|}^q$ 控制。因此 $u_n\rightharpoonup 0$，而范数始终为 $1$，没有范数收敛到零。以常探针 $g=1$ 检查时，读数为 $n^{1/p-1}\to 0$；不过完整的弱收敛仍由上面对任意 $L^q$ 探针的估计保证。

到了 $p=1$，单位质量尖峰 $v_n=n{\mathbf{1}}_{(0,1/n)}$ 连弱收敛子列都没有。若某子列在 $L^1$ 中弱收敛到 $v$，对每个固定 $\delta >0$ 及有界探针 $g$，用 $g{\mathbf{1}}_{(\delta ,1)}$ 测试便得 ${\int }_{\delta }^{1}vg=0$。取 $g=\mathrm{sgn}(v)$，得到 $v=0$ 几乎处处于 $(\delta ,1)$；再取 $\delta =1/m$，可知 $v=0$ 几乎处处于 $(0,1)$。但常探针 $1$ 要求 $\int v=lim\int v_n=1$，矛盾。

区别发生在探针一侧：$q<\mathrm{\infty }$ 时，固定探针在缩小集合上的 $L^q$ 范数趋零；$q=\mathrm{\infty }$ 时，常函数 $1$ 在再小的正测度集合上，本质上确界仍为 $1$。在 $L^1$ 里，一致可积性公理库一致可积性Uniform integrability · Uniformly integrable family一族可积随机变量在统一截断水平之外的绝对期望可以一致地趋于零。正是阻止这种单位质量不断集中到小集合的条件之一。

弱、弱星和紧性各指什么 ​

连续对偶 $X^{\prime }$ 上还有弱星拓扑 $\sigma (X^{\prime },X)$，只用原空间的求值来测试：$f_{\alpha }\to f$ 弱星，当且仅当 $f_{\alpha }(x)\to f(x)$ 对每个 $x\in X$ 成立。相比之下，$X^{\prime }$ 自身的弱拓扑是 $\sigma (X^{\prime },X^{″})$，使用连续双对偶中的全部测试；若 $X$ 不自反，两种测试集合可能不同。

Banach–Alaoglu 定理公理库弱星拓扑与 Banach–Alaoglu 定理Weak-star topology · Weak-* topology · Banach–Alaoglu theorem · 弱星拓扑 · 巴拿赫–阿劳格卢定理用紧乘积与闭线性约束证明对偶球的弱星紧性，构造可分原空间上的显式度量与收敛子列，并以 ℓ∞ 序列区分弱星、弱与范数收敛。说 $X^{\prime }$ 的闭单位球弱星紧公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。，无需 $X$ 完备。其证明把泛函的全部读数放进紧的坐标乘积，再以闭线性等式筛出真正的连续泛函。一般拓扑中的紧性用网和子网表达，不能仅凭此句就断言每个有界序列都有弱星收敛子列。当原空间（这个对偶表示中的前对偶）$X$ 可分时，该球的弱星拓扑可度量化，才可结合紧性得到序列结论。链接页给出度量的双向邻域估计、直接对角抽取，以及 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}=({\ell }^1{)}^{\prime }$ 中弱星收敛而不弱收敛的尾序列。

反身 Banach 空间的闭单位球弱紧；Eberlein–Šmulian 定理进一步把 Banach 空间中的弱紧性与弱序列紧性联系起来，因此反身空间的有界序列有弱收敛子列。上面的 Hilbert 证明独立完成了所需特例。反身空间里，弱闭且有界的集合弱紧；把“弱闭”直接换成“范数闭”并不成立，例如 ${\ell }^2$ 的单位球面范数闭，却因 $e_n\rightharpoonup 0$ 而不是弱闭的。

若可行集合 $C$ 非空、范数闭且凸，Hahn–Banach 的赋范空间闭凸分离推论公理库Hahn–Banach 定理Hahn–Banach theorem在保持控制不等式或范数的条件下把子空间上线性泛函延拓到全空间。对每个 $x_0\notin C$ 给出 $\ell \in X^{\prime }$、$\eta >0$，使 $\mathrm{Re}\ell (c)\le \mathrm{Re}\ell (x_0)-\eta$ 对所有 $c\in C$ 成立。因此

是包含 $x_0$ 且避开 $C$ 的弱开邻域，故 $C$ 弱闭；空集也显然弱闭。实空间可省略实部符号。这个结论解释了凸约束为何容易在弱极限中保存；任意范数闭的非凸约束没有同样保证。

变分法的直接法公理库变分法的直接法Direct method in the calculus of variations从有界极小化序列、弱极限和下半连续性证明极小点存在，以一维点值与三维紧嵌入分别完成四次势能的唯一弱解及精确算例。把这几件事接在一起：能量估计限制极小化序列的范数，有界性给出弱子列，弱闭性保存约束，弱下半连续性保证极限能量不高于下确界。弱收敛提供的是存在性证明所需的极限通道；能量和约束是否能沿这条通道通过，还必须分别验证。

在上述 $L^p$ 空间中，范数的弱下半连续性也能由探针直接证明。若 $f\ne 0$，取

则 $\int fg=\Vert f{\Vert }_p$，而 $f_n\rightharpoonup f$ 给出 $\int f_{n}g\to \Vert f{\Vert }_p$。每一项都不超过 $\Vert f_n{\Vert }_p$，所以 $\Vert f{\Vert }_p\le \underset{n}{lim inf}\Vert f_n{\Vert }_p$；$f=0$ 时直接成立。复函数用共轭相位作同一计算。这样，有界列抽取与范数下半连续都已落实为积分中的操作，可供后续弱解和变分问题直接使用。