对偶空间

把向量看作待测量的对象，线性泛函就是一种读数规则：输入向量，输出一个标量，并且读数服从线性叠加。对偶空间收集了全部这种规则。选定一组基后，对偶基中的第 $i$ 个泛函专门读取第 $i$ 个坐标。

对偶映射的方向也可从测量理解。若 $T$ 先把输入 $v$ 变成输出 $T(v)$，再用 $\psi$ 测量输出，读数为 $\psi (T(v))$。这整个过程本身就是对输入的一次线性测量，所以输出空间的泛函被拉回了输入空间。

有限维时，向量与泛函的自由度相同，但要把某个向量对应到某个泛函，仍需选定基或内积。双重对偶的求值映射则直接使用已有数据：给定 $v$，让每个泛函报告它在 $v$ 上的读数，因而不需要另选坐标。

在 $F^n$ 中，行向量 $a^{\mathrm{\top }}$ 定义泛函 $x\mapsto a^{\mathrm{\top }}x$。标准基的对偶基是各坐标投影。若 $T$ 的矩阵为 $A$，在相应对偶基下，$T^{\ast }$ 的矩阵就是 $A^{\mathrm{\top }}$。这里的星号表示对偶映射，不要求内积；内积伴随公理库伴随算子Adjoint operator有限维内积空间中把线性映射从内积一侧移到另一侧的唯一算子。也常用同一符号，却从 $W$ 映到 $V$，并依赖两侧的内积。在复正交规范基下，伴随矩阵为 ${\bar{A}}^{\mathsf{T}}$，而代数对偶映射仍由普通转置 $A^{\mathsf{T}}$ 表示。

用三次测量恢复一个多项式 ​

在次数至多为二的多项式空间 $P_2(\mathbb{R})$ 上，定义三个线性泛函

若 $p(x)=a+bx+c{x}^2$，则 $L_0(p)=a$、$L_1(p)=b$、$L_2(p)=a+b+c$，从而

这三个读数唯一确定 $a,b,c$，所以 $L_0,L_1,L_2$ 构成对偶空间的一组基。只测 $p(0)$ 与 $p(1)$ 时，多项式 $cx(x-1)$ 对任意 $c$ 都给出两个零读数，留下一个无法区分的方向。即使再重复测一次 $p(0)$，读数数量达到三个，这个方向仍然不可见；要恢复多项式，需要的是三个独立的测量。

代数对偶与连续对偶 ​

内积可以把向量转换成泛函；复空间中的这种对应包含共轭，需要按内积的线性变量约定书写。若向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。还带有拓扑，连续对偶只收集连续的线性泛函，而代数对偶收集所有线性泛函。

无限维时，这一区别尤其重要。以有限支撑序列空间为例，每个向量只有有限个非零坐标，但一个线性泛函可以为每个坐标指定系数，因为每次求值仍只需有限求和。泛函的全部系数因此可以组成无限序列，有限维中“原空间与对偶同维”的图像在这里发生了变化。

在赋范空间中，弱拓扑公理库弱拓扑与弱收敛Weak topology · Weak convergence in a Banach space用连续线性泛函定义收敛，在 Hilbert 和有限 Lebesgue 区域的 Lp 空间中构造有界序列的弱子列，并辨认端点集中与弱星紧性的边界。只用连续对偶 $X^{\prime }$ 中的泛函测试收敛；对偶空间上的弱星拓扑则用原空间中的点测试泛函。这两个构造都依赖所选连续结构，不能将本页的全部代数泛函不加区别地代入。

线性约束可写成 $\phi (v)=0$。固定一个子空间，收集所有在它上面恒为零的泛函，就得到其零化子；它从“哪些测量看不见这个子空间”的角度描述约束。微分几何中的余切向量测量切向量的一阶变化，优化中的拉格朗日乘子则用于组合约束的微分。

双线性形式公理库双线性映射与形式Bilinear map · Bilinear form对两个向量变量分别线性的映射；值域为标量域时称双线性形式。 $B:V\times W\to F$ 固定第一输入后，对第二输入就是线性泛函，因此给出线性映射 $V\to W^{\ast }$，$v\mapsto B(v,-)$。对偶映射则把复合次序反转：先做 $T$ 再做 $S$，测量拉回时先沿 $S$ 再沿 $T$。这正是对偶空间作为逆变函子公理库函子Functor保持单位态射和复合的范畴之间映射。的具体含义。