基本群

基本群记录从基点出发绕行后返回时，哪些绕行能够连续消掉。逆元不是负长度，而是沿原路返回；去程与回程可以同时逐步缩短，从而同伦于静止。多个障碍存在时，先绕哪个再绕哪个可能影响结果，因此一般会产生非交换群。

基点也是数据。若 $\lambda$ 从 $x_0$ 走到 $x_1$，则

给出 ${\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(X,x_1)$ 的同构：先从新基点走回旧基点，再绕原回路，最后返回。换一条 $\lambda$ 可能改变同构，差别体现为内自同构；因此路径连通空间的基本群在同构意义下与基点无关，却没有一般的唯一识别。

圆周上 ${\gamma }_k(t)=e^{2\pi ikt}$ 绕行 $k$ 圈。用覆叠的路径与同伦提升公理库覆叠提升性质Lifting property for covering spaces路径与同伦在指定起点后可唯一提升到覆叠空间。，把任意基于 $1$ 的回路提升为从 $0$ 出发的实值角度路径 $\tilde{\gamma }$，使 $\gamma (t)=e^{2\pi i\tilde{\gamma }(t)}$，则终点必为整数。这个整数在端点固定同伦中不变，而连接把整数相加，给出

例如先绕两圈再反绕三圈得到 $2+(-3)=-1$，对应反向一圈。圆周计算的关键是连续角度提升，不是给整个圆周选择单个全局角度函数。

球面复线丛的分类公理库圆周与球面的线丛分类Line bundle classification on S1 and S2 · 圆周实线丛与球面复线丛分类以两开集上的过渡函数分类圆周实线丛与球面复线丛，证明符号和绕数的不变性与完备性，并用局部对数实际构造同构及张量加法。把这个整数用于赤道上的非零复过渡函数。换标架的函数可延拓到各半球，边界绕数必为零；同绕数的两个过渡函数之比则有单值对数，可以构造丛同构。因此这里的角度提升不仅区分回路，也完整区分一个具体底空间上的线丛。

非空凸集中的回路用 $H(t,s)=(1-s)\gamma (t)+s{x}_0$ 收缩，始终固定端点，故基本群平凡。但反向不成立：$S^n$ 在 $n\ge 2$ 时基本群平凡，却因非零顶维同调而不可缩。定义也不要求整个空间路径连通；所有基于 $x_0$ 的回路只访问其路径分量。

平面去掉两个点可形变收缩到两个圆的楔和，再由Seifert–van Kampen 定理公理库Seifert–van Kampen 定理Seifert–van Kampen theorem把空间开覆盖的基本群通过推送结构组合为整体基本群。得到二生成元自由群公理库自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。 $F_2$。绕两个孔的类记为 $a,b$，则交换子 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ 是非空约化字，不能消成单位元，所以 $ab\ne ba$；在一阶同调的交换化中它却消失。

连续映射 $f:X\to Y$ 诱导 $f_{\ast }([\gamma ])=[f\circ \gamma ]$，其目标基点是 $f(x_0)$。它保持连接且满足 $(g\circ f{)}_{\ast }=g_{\ast }\circ f_{\ast }$；基点固定同伦映射诱导同一同态，自由同伦则还需处理基点移动的共轭。

Seifert–van Kampen 定理公理库Seifert–van Kampen 定理Seifert–van Kampen theorem把空间开覆盖的基本群通过推送结构组合为整体基本群。把合适开覆盖的路径信息组装为群表示。对路径连通、局部路径连通、半局部单连通空间，覆叠空间公理库覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。理论把连通覆叠与基本群子群联系起来，万有覆叠的覆叠变换群也恢复基本群；去掉这些局部条件时不能原样套用分类。

本页的 ${\pi }_1$ 是同伦群族公理库高阶同伦群Higher homotopy group · Homotopy group以基点保持映射从高维球面探测空间，并按基点同伦组成群的不变量。中 $n=1$ 的情形：把区间两端压成一个基点得到 $I/\partial I\cong S^1$，端点固定的路径模型与带基点圆周模型相同。取商之后才获得群结构，不能把全部参数化回路本身当作一个群再直接取商群。