测度的绝对连续

绝对连续刻画的是一种支配关系：把测度想成在空间上铺撒质量的方式，$\nu \ll \mu$ 说的是在参考测度 $\mu$ 完全看不见的集合上，$\nu$ 也不许放置任何质量。换句话说，$\nu$ 的活动范围被 $\mu$ 的"视野"圈定——$\nu$ 至多在 $\mu$ 已经有质量的地方调整疏密，而不能在 $\mu$ 的盲区凭空造出质量。这正是"存在密度函数"的定性前提：凡是能写成对 $\mu$ 加权积分的测度，都自动继承 $\mu$ 的全部零集，而 Radon–Nikodym 定理说这个必要条件在合适假设下也是充分的。至于"连续"这个名字，可以从有限测度情形的 $\epsilon$–$\delta$ 刻画理解：$\mu (A)$ 一旦足够小，$\nu (A)$ 就随之任意小，形式上与函数连续性的定义如出一辙。

最重要的正例来自积分：设 $f\ge 0$ 可测，令 $\nu (A)={\int }_{A}fd\mu$。若 $\mu (A)=0$，则 $f$ 在 $A$ 上的 Lebesgue 积分公理库Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。为零，故 $\nu (A)=0$，即 $\nu \ll \mu$。例如在 $\mathbb{R}$ 上取 $f$ 为标准正态密度、$\mu$ 为 Lebesgue 测度，就得到对 Lebesgue 测度绝对连续的标准正态分布。

标准反例是 Dirac 测度 ${\delta }_0$ 与直线上的 Lebesgue 测度 $\lambda$：单点集满足 $\lambda (\{0\})=0$ 而 ${\delta }_0(\{0\})=1$，故 ${\delta }_0\ll ̸\lambda$；反过来 ${\delta }_0(\mathbb{R}\setminus \{0\})=0$ 而 $\lambda (\mathbb{R}\setminus \{0\})=\mathrm{\infty }$，故也有 $\lambda \ll ̸{\delta }_0$。可见两个测度完全可以互不支配，绝对连续既不对称也不是全序。

两处边界情形值得注意。其一，$\epsilon$–$\delta$ 刻画中 $\nu$ 的有限性不可省略：在 $(0,1)$ 上取 $\nu (A)={\int }_A{x}^{-1}dx$，则 $\nu \ll \lambda$，但 $\lambda ((0,1/n))\to 0$ 而每个 $\nu ((0,1/n))=\mathrm{\infty }$。其二，本条比较两个测度的零集；函数的绝对连续性公理库绝对连续函数Absolutely continuous function · Absolute continuity on an interval把有限组总长度很小的区间送到总振幅很小的函数类，并满足 Lebesgue 版微积分基本定理。则控制短小不交区间上的总增量。两者可由 Lebesgue–Stieltjes 测度联系：在有限区间 $[a,b]$ 上，若 $F$ 非减且绝对连续，其增量测度在 $(a,b]$ 上满足 ${\nu }_F((s,t])=F(t)-F(s)$，并由积分表示得到 $d{\nu }_F=F^{\prime }d\lambda$，所以 ${\nu }_F\ll \lambda$。这种联系需要先把函数的增量变成测度；两个定义本身并不相同。

绝对连续是Radon–Nikodym 定理公理库Radon–Nikodym 定理Radon–Nikodym theorem在标准 σ-有限条件下，把绝对连续测度表示为参考测度的积分密度。的核心假设：若参考测度 $\mu$ 与被表示的正测度 $\nu$ 都是 σ-有限的，则 $\nu \ll \mu$ 恰好等价于存在非负可测函数 $f$，使 $\nu (A)={\int }_{A}fd\mu$；此时 $f=\mathrm{d}\nu /\mathrm{d}\mu$ 在几乎处处公理库几乎处处Almost everywhere · Almost surely除去一个零测集后性质在其余所有点成立。相等的意义下唯一。常见的有限测度版本是这一陈述的特例；对符号测度还需相应的有限性或 σ-有限变差假设。概率论中随机变量“有概率密度函数公理库概率密度函数Probability density function · PDF概率分布相对于指定参考测度的 Radon–Nikodym 导数。”，说的正是其分布对 Lebesgue 测度绝对连续。

支配统计模型要求所有 $P_{\theta }$ 对共同测度 $\mu$ 绝对连续，这些 Radon–Nikodym 导数才能组成可比较的密度与似然公理库似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。。改变共同支配测度只会给似然乘上与参数无关的因子；若支持随参数变化，仍须保留相应指示项，不能用“都有密度”掩盖正则性失败。信息论中KL 散度公理库KL 散度Kullback–Leibler divergence · Relative entropy同一可测空间上分布 P 相对于 Q 的对数 Radon–Nikodym 导数在 P 下的积分。的有限性也要求被比较的第一个分布对第二个绝对连续。

与绝对连续相对的另一极端是相互奇异。在相应的 σ-有限假设下，Lebesgue 分解定理把一个测度唯一拆成对参考测度绝对连续与奇异的两部分，使“有密度的成分”与“集中在零测集上的成分”可以分开处理。