条件分布

条件分布不是把一个可能为零的事件概率硬塞进分母，而是为每个可观察输入 $y$ 配一份关于 $X$ 的分布，并要求把这些局部分布按 $Y$ 的边缘律混合后，恰好重建原联合分布公理库联合分布Joint distribution · 联合概率分布多个随机元素组成的向量所推出的概率测度，完整记录边缘与依赖结构。。积分恒等式负责“相容”，核的可测性负责“可以混合”；零测集上的逐点值不影响任何积分，因此没有天然唯一答案。

离散例子中，令 $X$ 为公平比特，给定 $X$ 后，信道以概率 $0.9$ 正确输出 $Y=X$、以概率 $0.1$ 翻转。由对称性 $\text{Pr}(Y=1)=1/2$，Bayes 计算给出 $\text{Pr}(X=1\mid Y=1)=0.9$。连续例子取三角形 $0<x<y<1$ 上的联合密度 $f_{X,Y}(x,y)=2$。此时 $f_Y(y)=2y$，故 $X\mid Y=y$ 的条件密度为 $1/y$（$0<x<y$）：观测到 $y$ 后，$X$ 在 $(0,y)$ 上均匀，而把它按 $f_Y$ 混合会恢复原三角形密度。

若 $Y$ 连续，则通常 $\text{Pr}(Y=y)=0$，初等比值没有定义；上面的核版本仍可存在。即便存在，改变某个零概率 $y$ 处的 $K(y,\cdot )$ 也不会改变联合分布，所以不能把该点的数值当作由模型唯一决定。更一般的可测空间中正则版本甚至可能不存在，故“总能对每个 $y$ 写出条件分布”需要空间假设。

对可积函数 $g$，核给出条件平均 $\int g(x)K(y,dx)$，连接到条件期望公理库条件期望Conditional expectation以信息分组的加权平均建立条件期望直觉，再连接测度定义、最小均方预测、塔式性质和可计算反例。；对 $Y$ 再积分得到全期望公式。Bayes 定理公理库Bayes 定理Bayes' theorem · Bayes' rule用先验与证据在各假设下的可能性反转条件方向，得到归一化后验。在有密度或离散质量时重新加权该核，Markov 链的一步条件律和离散无记忆信道也都是同一结构。联合分布决定条件分布的几乎处处等价类，而条件核加上 $Y$ 的边缘分布又能通过积分重建联合分布。

抽样或条件化的方式会改变看到的分布。检查悖论公理库检查悖论与长度偏倚Inspection paradox · Renewal length bias随机时刻按长度偏倚抽取更新区间，剩余寿命的平均值由二阶矩决定。比较随机选周期与随机选时刻产生的长度偏倚；Gibbs 条件化原理公理库Gibbs 条件原理Gibbs conditioning principle在稀有经验约束下，以最小相对熵分布描述固定少量样本的渐近条件规律。则研究已知全样本满足稀有约束后，固定少量坐标趋向哪个条件规律。