测度

长度、面积、对象个数和概率，虽然单位不同，却共享同一个分解原则：把互不重叠的部分拼起来，总量等于各部分之和。测度提取了这条原则，而没有预先规定点长什么样。

必须区分测量范围与测量规则。$\mathcal{F}$ 指明允许测量哪些集合，$\mu$ 为这些集合赋值。同一个 $\sigma$-代数上可以放不同测度；同一个集合在计数测度下可能很大，在长度测度下却为零。单说“这个集合大小为零”，需要交代用的是哪把尺子。

可加性要求先排除重叠。例如长度测度下 $[0,2]$ 与 $[1,3]$ 各长 $2$，并集却只长 $3$。若直接相加，中间的 $[1,2]$ 被算了两次；拆成不交块后，每个位置只贡献一次质量。简单函数积分与概率并集公式都沿用这个分解机制。

可数可加不等于任意多个部分都能直接相加。$[0,1]$ 是所有单点的不可数并，每个单点长度为零，整个区间长度仍为 $1$。公理只保证可数个互不重叠部分的求和规则，不能把不可数并偷偷当作级数。

三把不同的尺子 ​

计数测度规定有限集合的测度为元素个数，无限集合的测度为 $\mathrm{\infty }$；取 $\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$ 即可。两个不交集合相加就是合并两份不重复的名单。在可数空间上它 $\sigma$-有限，在不可数空间上则不是：有限测度集只能有限，可数个有限集不能覆盖不可数集合。

Dirac 测度把全部质量集中在固定点 $a$：

在两两不交的集合族里，最多一个集合含 $a$，所以可数可加性立即成立。这不是“近似集中”，而是一个精确的、全部质量在单点上的测度。

Lebesgue 测度 $\lambda$ 把区间长度推广到更丰富的可测集合，满足 $\lambda ([a,b])=b-a$。每个单点测度为零，故 $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ 作为可数个单点的并也为零；其余无理点组成的集合测度为 $1$。零测度并不等于空集，也不等于元素很少。

有限可加为何不够 ​

在 $\mathbb{N}$ 上，只考虑有限集及其补集所组成的集合代数，规定有限集质量为 $0$、余有限集质量为 $1$。这条规则满足有限可加性，但

因此即使这次可数并的结果仍在允许的集合族内，可数可加性也已失败。此外，有限—余有限集合族本身不是 $\sigma$-代数，例如所有偶数单点的并不在其中。这个构造同时提醒我们检查“定义域是否对可数运算封闭”和“赋值是否可数可加”，两项都不能省略。

连续空间上的另一条边界是不可测集。在通常包含选择公理的集合论背景下，不存在一个定义在 $\mathbb{R}$ 所有子集上、同时保持区间长度、平移不变性和可数可加性的测度。使用 Borel 集或 Lebesgue 可测集，是在这些要求之间选择可以一致共存的测量范围，而不是默认所有子集都能量长度。

完备测度空间是另一个条件 ​

若每个可测零测集的任意子集也可测，称测度空间完备。Lebesgue 可测集上的 Lebesgue 测度是完备的；只把它限制在 Borel 集合上则不完备。补全测度空间要加入零测集的所有子集及相应组合，并延续原测度。这与度量空间中 Cauchy 序列是否有极限的“完备”是不同定义。

补全后的集合可写成 $B\cup N$，其中 $B$ 原本可测，$N$ 包含在某个原本可测的零测集中；新测度规定为 $\mu (B)$。即使同一集合有两种这样的表示，两份 $B$ 的差异也只在零测集中，因此赋值一致。补全增加了可询问的集合，没有给原来的可测集合改换大小。

从可加性读出基本估计 ​

若 $A\subseteq B$，分解 $B=A\bigsqcup (B\setminus A)$ 得

所以测度单调。若 $\mu (A)<\mathrm{\infty }$，还可以安全地写 $\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A)$；若两边都涉及无穷量，就不能进行 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 的减法。例如实线与其一个半轴都有无穷长度，差集仍可能有无穷长度。

对不要求互不相交的集合族，先依次去掉已经计算过的部分：令 $B_1=A_1$、$B_n=A_n\setminus \bigcup _{j<n}{A}_j$。这些 $B_n$ 两两不交，与原族有相同的并，且 $B_n\subseteq A_n$。于是

这就是可数次可加性；概率论中的并合界是它在总质量为 $1$ 时的用法。

集合极限何时能穿过测度 ​

若 $A_n\uparrow A$，即集合逐步扩大且并为 $A$，则

证明把新增部分 $A_n\setminus A_{n-1}$ 拆成不交族，$\mu (A_n)$ 就是同一个非负级数的前 $n$ 项和。因此从下连续性不需要总质量有限，极限可以是无穷大。

若 $A_n\downarrow A$，若某一项测度有限，则有 $\mu (A_n)\downarrow \mu (A)$。以第一项有限为例，把它改写为 $A_1\setminus A_n\uparrow A_1\setminus A$，再从有限的 $\mu (A_1)$ 中作减法即可。条件不能删除：实线上 $A_n=[n,\mathrm{\infty })$ 递减到空集，每一项测度却都是 $\mathrm{\infty }$。

从测集合到积函数 ​

非负简单函数 $s=\sum _{j=1}^m{c}_j{\mathbf{1}}_{A_j}$（$c_j\ge 0$）在不同区域取有限种值；把这些区域选为两两不交时，自然定义 $\int sd\mu =\sum _j{c}_j\mu (A_j)$，并采用非负积分的约定 $0\cdot \mathrm{\infty }=0$。Lebesgue 积分公理库Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。再通过非负逼近与正负部分，把“测量区域大小”推广为“累计区域上的数值”。

概率分布公理库概率分布Probability distribution · Law可测空间上总质量为一的测度；随机变量的律是由样本概率推出的一类分布。是在可测空间上放置总量为一的测度；密度则说明一种测度如何相对于另一种测度重新加权。乘积测度把不同坐标的测量连接起来，但换序积分等结论还需要非负性、可积性或相应的空间假设。

最后，“几乎处处相等”允许在零测度集上不同。积分通常忽略这种差异，因此函数空间会把相差于零测度集的函数视为同一个等价类。测度不仅给集合赋大小，也决定哪些差异在分析中可以忽略。