统计量与抽样分布

统计量是固定的数据处理规则，抽样分布则把这个规则放回一遍遍重复的同一实验中，记录输出如何波动。现实中只看到一次实现 $t_{\mathrm{obs}}=T_n(x)$；整条分布来自“模型 + 参数 + 设计 + 规则”，是标准误、置信覆盖与检验阈值的校准对象。

可以沿一次数据流区分四个对象：随机样本 $X^{(n)}$、已观察数值 $x$、固定映射 $T_n$、以及输出随机量的律 $Q_{\theta ,n}$。样本直方图或经验分布是从这份 $x$ 算出的统计量；它们本身不等于在重复采样中形成的抽样分布。

抽样设计的影响可以直接算出来。设总体恰有两个固定数值 $0,2$，抽两次后求均值。有放回独立抽样得到均值 $0,1,2$，概率分别为 $1/4,1/2,1/4$，所以均值的抽样方差为 $1/2$。不放回抽遍总体时均值恒为 $1$，方差为零。同一个求平均公式，由于实验设计不同，产生完全不同的抽样分布。

若一台测量仪的独立重复读数满足 $X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，统计量

满足精确抽样分布

$\overline{X}$ 的计算公式没有未知参数；它的中心和尺度却含 $(\mu ,\sigma )$。表达式 $(\overline{X}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})$ 是用来研究分布或反演区间的参数化随机量，若 $\mu ,\sigma$ 未知，就不是一份数据单独能够计算的统计量。

仅把 $\sigma$ 换成样本标准差 $S$，仍留下未知的 $\mu$，所以 $(\overline{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})$ 是枢轴量而非可直接计算的统计量。若检验给定假设值 ${\mu }_0$，则

才是统计量。在 $\mu ={\mu }_0$、$n\ge 2$ 的正态 IID 模型下，它精确服从 $t_{n-1}$；其他均值下则是非中心 $t$ 分布。这里要同时区分“公式能否由数据计算”与“哪一个参数值下有哪条分布”。

二元临床结局的 Bernoulli 样本中，$S=\sum _i{X}_i$ 是总成功数，且

观测到 $S=s$ 只是这条二项分布的一次实现；抽样分布仍是对 $0,\dots ,n$ 全部可能成功数的概率分配。若入组概率随病人风险分层而变，各 $X_i$ 不再同分布，$S$ 通常是 Poisson–binomial 而非二项分布，尽管求和公式完全相同。

次序统计量展示如何从事件原像直接推出抽样分布。若 $X_1,\dots ,X_n$ 独立且有连续分布函数 $F_{\theta }$，最大值 $M=X_{(n)}$ 满足

第一步把输出事件拉回原样本空间，第二步才使用独立性。若设备读数具有共同漂移，最后的乘法便失效；统计量仍是同一个最大值，抽样分布已经不是 $F_{\theta }(t{)}^n$。

对最大值作位置尺度归一化后，极值类型定理公理库Fisher–Tippett–Gnedenko 极值定理Fisher-Tippett-Gnedenko theorem · Extreme types theorem独立同分布最大值若存在线性归一化后的非退化极限，该极限必属于广义极值分布族。进一步分类所有可能的非退化极限，但不保证任意总体都存在这样的极限。

边界与失败情形 ​

统计量不能暗中使用未知真值。例如 $T_{\theta }(X)=\mathbf{1}\{X>\theta \}$ 在未知 $\theta$ 时不是可实施的数据摘要；若检验明确给出假设值 ${\theta }_0$，则 $\mathbf{1}\{X>{\theta }_0\}$ 是合法统计量。已知设计常数、样本量以及事先生成的随机种子也可以纳入扩展样本空间。

相同公式在不同模型下会有不同抽样分布。样本均值在正态模型下精确正态，在一般有限方差模型下通常只渐近正态，在均值不存在的重尾模型中则没有围绕总体均值的通常解释。任何分布结论都必须连同生成模型复述，不能把它当成公式自带的性质。

Bootstrap公理库BootstrapBootstrap resampling · Nonparametric bootstrap用条件重采样律近似抽样误差：完整计算均值的有限分布，证明有限方差下一致性，并由最大值的持久原子判定失败。 分布是在观测数据给定后，由经验分布或拟合模型重抽样得到的条件分布，用来近似未知的真实抽样分布。固定原数据时，理想条件律已经确定；有限 $B$ 次重采样得到的直方图只是它的 Monte Carlo 估计。换一份原数据，理想条件律本身也会改变。这与模型给定后不再随观测样本改变的真实抽样律是两类对象。

最大值公式可以直接用于检验两者是否接近：真实分布为 $F_{\theta }(t{)}^n$，给定样本后的经验重采样分布则为 $F_n(t{)}^n$。在连续 Uniform 上界模型中，原最大值唯一，后者在它上面放置 $1-(1-1/n{)}^n$ 的质量。居中并按 $n$ 放大后，该质量仍留在误差零点，趋于 $1-e^{-1}$；真实误差却趋于无原子的指数律。因而重采样能执行、分布公式能写出，都不等于它已正确近似目标。Bootstrap 页给出完整三点枚举及这一失败的距离下界。

可测性也不是装饰性条件。若对样本定义一个不可测的“选择规则”，$P_{\theta }(T\in B)$ 可能没有意义，因而谈不上抽样分布。在通常 Euclidean 数据与连续、分段连续运算中可测性容易满足；涉及任意集合选择或函数空间上确界时则需要核对。

若 $T_n$ 的整个抽样分布不含 $\theta$，它是辅助统计量公理库辅助统计量Ancillary statistic抽样分布在整个参数空间中保持不变、因而不携带待估参数分布信息的统计量。；若某个含目标参数的标准化随机量拥有无参数分布，它可作为枢轴量反演置信集合公理库置信区间Confidence interval · Confidence set以重复抽样覆盖率校准参数区间，并从正态枢轴与二项等尾检验反演算出有限样本端点。。充分统计量公理库充分统计量Sufficient statistic以参数无关的条件分布保留整个模型区分能力的数据压缩，并连接因子分解与决策等价。问的是给定 $T_n$ 后剩余样本的条件分布是否无参数，与边缘抽样分布是否含参数是两条不同轴线。

标准误是估计量抽样分布标准差，或对该标准差的可计算估计；样本标准差则描述一份数据内部的离散程度。精确分布难求时，渐近正态性公理库估计量的渐近正态性Asymptotic normality of estimators估计误差在明确中心、速率与协方差下趋于正态律，以及线性化、标准化和边界失效机制。、Delta 方法与模拟提供近似，但近似对象仍是这里定义的推前分布。

抽样分布不仅用于评价已有估计，也可以反过来指导怎样收集资料。分层抽样与 Neyman 分配公理库分层抽样与 Neyman 分配Stratified sampling · Neyman allocation在独立层内抽样的精确方差上优化人数或费用分配，说明 Neyman 公式与实际整数约束。从层内均值的设计方差出发，在固定人数或成本约束下分配样本，把精度目标变成可执行的设计选择。