单位分解

单位分解是一组平滑权重。在每一点附近只有有限个权重参与，而且权重总和恰为一，因此可以把不同坐标片上的局部对象做凸式加权，得到全局对象。它不是把局部公式生硬拼接，而是在重叠区域平滑过渡。

支集从属于覆盖保证每个权重只在相应局部构造有效的地方起作用。局部有限性同时解决两个问题：无穷和在局部仍是有限计算，且微分可逐项进行。

圆周可由两个略大于半圆的开弧覆盖。分别在两弧内选 bump functions ${\psi }_1,{\psi }_2$，使它们没有共同为零的点，再归一化为

于是 ${\phi }_1+{\phi }_2=1$，每个函数的支集都留在对应开弧内。若各坐标片上已有 Riemann 度量 $g_i$，则 $\sum _i{\phi }_i{g}_i$ 仍逐点正定且光滑，从而给出全局Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。。

“从属”要求非零点集的闭包包含在覆盖成员中，而不仅是非零点集落在其中；忽略闭包可能让函数在覆盖边界附近失去受控邻域。局部有限也不等于全局有限：紧致性保证每个给定开覆盖都有有限子覆盖，因而可选取有限个函数；非紧流形的某些覆盖也可能是有限的，例如实线的覆盖 $\{\mathbb{R}\}$ 就有单位分解 $\{1\}$。

任意拓扑空间未必存在从属于每个开覆盖的单位分解；仿紧性与足够的分离性质是核心。光滑版本还依赖 bump functions。单位分解也不能把彼此不相容的局部函数粘成一个在每个片上都逐点等于原函数的全局函数；加权平均只给出新的全局对象，除非局部数据在重叠处本来就相容。

单位分解可把局部内积加权为全局度量，把局部截面拼成向量丛公理库光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛用相容的局部线性坐标定义并重建光滑向量丛，推导换标架与同构公式，再由 Möbius 线丛的反周期截面检测非平凡性。的全局截面，并用于定义流形上的积分。配合局部坐标，它还能构造嵌入、近似与紧支撑函数。对微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。，加权和保持形式次数，但外微分会额外产生 $d{\phi }_i\wedge {\omega }_i$，因此微分方程约束是否保持需要另行核对。

定理把“流形局部像 Euclidean 空间”提升为真正可用的局部到全局机制。其力量来自覆盖、支集与局部有限三项同时成立；只写“取权重使和为一”会遗漏存在性证明中最关键的拓扑条件。

形式 Mayer–Vietoris 序列公理库Mayer–Vietoris 序列Mayer–Vietoris sequence从小链和微分形式的短正合列构造两种 Mayer–Vietoris 序列，写出形式连接同态，并在球面上算出归一化面积类。给出一个支集条件不可省略的用途：重叠区上的任意形式 $\alpha$，乘以另一侧的权重后可以光滑零延拓到本侧。权重在接缝外每一点附近都恒为零，因此即使原形式靠近接缝不受界控制，也不妨碍延拓；微分权重产生的额外项随后组成连接同态。有限好覆盖的 de Rham 比较公理库de Rham 定理de Rham theorem · 德拉姆定理构造积分上链映射，通过光滑小链证明它与 Mayer–Vietoris 连接同态相容，再以有限好覆盖归纳证明积分同构。以这条短正合列和光滑小链的对应序列完成归纳。

同一个零延拓机制也能逐项消去Čech接缝余循环公理库Čech 上同调Čech cohomology · Cech cohomology以圆周两弧的两个接缝算出整数粘合障碍，定义固定覆盖的Čech复形并说明比较定理的条件。：对光滑模层，$h(c{)}_{i_0\cdots i_{p-1}}=\sum _j{\phi }_j{c}_{j{i}_0\cdots i_{p-1}}$ 满足 $\delta h+h\delta =1$。无上同调分解公理库无上同调层与计算分解Acyclic sheaf resolution · Flasque sheaf · Fine sheaf用维数移动证明无上同调分解定理，展示单位分解如何消去接缝差，并区分fine与flasque的适用条件。写出这个收缩，并解释为什么整数局部系统没有合法的实权重乘法。