光滑向量丛

向量丛把一个向量空间放在底空间的每一点上，并规定这些空间怎样光滑变化。局部看，它总是乘积公理库积拓扑Product topology在笛卡尔积上由有限坐标条件生成、并使所有坐标投影连续的最粗拓扑。 $U\times {\mathbb{R}}^r$；整体沿闭路绕一圈后，局部选取的纤维坐标却可能无法一致接回。过渡函数记录的是同一个纤维向量在不同坐标下的换基关系。

只有同一纤维内的向量能直接相加；不同纤维之间没有天然的加法或比较方式。总空间通常不是一个大向量空间，因为不同纤维没有共同零点。平凡化或联络能提供额外的比较方法，但不是预先给定的天然识别。

过渡余循环足以重建整个丛 ​

设 $\{U_{\alpha }\}$ 是 $M$ 的开覆盖，给定光滑函数

三指标等式只在三重交上要求。特别地，$g_{\beta \alpha }=g_{\alpha \beta }^{-1}$。在不交并 $\coprod _{\alpha }{U}_{\alpha }\times {\mathbb{K}}^r$ 上规定

单位、逆与三重交等式分别保证自反、对称和传递，故这已经是等价关系。令 $E_g$ 为所得商空间，$\pi [\alpha ,x,v]=x$。每个等价类在给定的 $\alpha$ 坐标中至多有一个代表；只要 $x\in U_{\alpha }$ 就恰有一个。于是

良定义且双射，逆为 $(x,w)\mapsto [\alpha ,x,w]$。

还要检查商拓扑确实给出这些坐标。商映射是开映射：一个开集的饱和在每一张 $\beta$ 条带中，是各重叠部分经光滑可逆变换 $(x,v)\mapsto (x,g_{\beta \alpha }(x)v)$ 所得开集之并。因此上述双射都是同胚。不同底点上的两点由 $M$ 的不交邻域分开；同一纤维中的不同两点则在共同的 ${\pi }^{-1}(U_{\alpha })$ 坐标中分开，故 $E_g$ 是 Hausdorff。$M$ 第二可数，从此覆盖取可数子覆盖后，各条带的可数基合起来给出 $E_g$ 的可数基。

过渡映射恰为所给的光滑矩阵函数，所以这些坐标赋予 $E_g$ 光滑结构。每条纤维的加法、数乘从 ${\mathbb{K}}^r$ 搬来，因所有过渡都线性而与坐标无关。这证明了重建定理，也说明余循环条件不是附加装饰：若它在三重交失败，同一向量经两条换坐标路线便可能得到不同结果。

换坐标与丛同构是同一条方程 ​

若改用纤维坐标 $v_{\alpha }^{\prime }=a_{\alpha }(x)v_{\alpha }$，其中 $a_{\alpha }:U_{\alpha }\to GL(r,\mathbb{K})$ 光滑，则新过渡函数为

这里 $g_{\alpha \beta }$ 一律表示从 $\beta$ 坐标到 $\alpha$ 坐标；标架本身按逆矩阵改变。

更一般地，固定底空间上的两个丛 $E_g,E_{g^{\prime }}$ 同构，当且仅当在共同的平凡化覆盖上存在这样的 $a_{\alpha }$ 满足式 $(1)$。充分性可直接验证：局部映射

下降到商，当且仅当 $a_{\alpha }{g}_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }^{\prime }{a}_{\beta }$；其逆由 $a_{\alpha }^{-1}$ 给出。必要性则把任意覆盖 ${\mathrm{id}}_M$ 的光滑纤维线性同构写入两侧坐标，其矩阵就是 $a_{\alpha }$。两丛原先的覆盖不同时先取共同细化即可。因而分类要除掉局部换标架的自由，而不是逐点比较两套过渡矩阵。

从商空间构造 Möbius 实线丛 ​

令 $B=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，$q(t)=[t]$，取商空间公理库商拓扑Quotient topology由满射逆像判据定义的最细拓扑，用来把指定点族连续地粘合为点。

这里等价关系由所有整数次平移生成。固定底点并选一个实数提升 $t$ 后，$a\mapsto [t,a]$ 给出纤维的线性坐标；改选 $t+n$ 只把坐标乘以 $(-1{)}^n$，所以纤维加法和数乘不依赖选择。模型纤维是整条实线；通常画出的有边界 Möbius 带则使用 $[-1,1]$ 作纤维，不是这个向量丛。此线丛作为纤维丛同构于有边界带的内部。

取两条开弧

$q$ 在各指定区间上的限制是到相应开弧的同胚；其逆记作 $t_U:U\to \mathbb{R}$、$t_V:V\to \mathbb{R}$。定义平凡化的逆映射

例如，若 $t=t_U(b)+n$，则

每条纤维中的等价类在所选长度为一的开区间里恰有一个代表，因此这些映射互逆。商映射是开映射：开集的饱和是它在变换 $(t,s)\mapsto (t+n,(-1{)}^{n}s)$ 下的开像之并。故限制在该开条带上的商映射也是开映射，所写坐标确实是同胚，并满足 ${\mathrm{pr}}_1{h}_U=\pi$、${\mathrm{pr}}_1{h}_V=\pi$。这同时检查了接缝附近的局部平凡性。

两个重叠分支，两个符号 ​

$U\cap V$ 有两个连通分支。我们统一计算从 $U$ 坐标到 $V$ 坐标的变换：

第二行来自 $[t_U(b),a]=[t_U(b)+1,-a]$。过渡函数在两个分支上分别恒为 $+1$ 与 $-1$，均光滑；连同圆周的标准光滑结构，这些坐标使 $E$ 成为秩一实光滑向量丛。改变一张坐标的符号会同时改变两处重叠的符号，不能由此让两处都变成 $+1$；下面用截面给出不依赖坐标选择的证明。

反周期截面必有零点 ​

设 $\sigma :B\to E$ 是任意连续截面。每个 $t\in \mathbb{R}$ 都唯一确定实数 $f(t)$，使

在上述任意局部坐标中，$f$ 等于截面的连续纤维坐标乘以一个局部恒定的符号，因此 $f$ 连续。由于 $q(t+1)=q(t)$，同一个向量换用提升 $t+1$ 后反号，故

若 $f(0)=0$，截面已经有零点；否则 $f(1)=-f(0)$ 与 $f(0)$ 异号，介值定理公理库介值定理Intermediate value theorem连续函数在实区间上不能跳过中间高度；由完备性证明存在性，并厘清二分法、唯一性和不动点迭代。保证某个 $c\in (0,1)$ 满足 $f(c)=0$。所以此丛没有处处非零的连续截面。

实线丛有处处非零截面 $\sigma$ 当且仅当它线性平凡。一个方向是从平凡丛搬回常值截面 $1$；另一方向直接构造

局部坐标中，这个映射是 $(b,a)\mapsto (b,a{\sigma }_i(b))$，逆映射将第二坐标除以非零的 ${\sigma }_i(b)$，因而连续；若截面光滑，逆也光滑。Möbius 线丛因此不能线性平凡化。它仍有零截面 $b\mapsto [t,0]$，所以“存在截面”远远不够。

一般纤维丛的平凡化不必保持零向量，不能直接套用上一段的线性判据。但假如存在覆盖 $B$ 的一般平凡化 $E\cong B\times \mathbb{R}$，搬回常值 $0$、$1$ 就得到两个处处不同的连续截面 ${\sigma }_0,{\sigma }_1$。在原有向量丛结构中作差，${\sigma }_1-{\sigma }_0$ 是处处非零的连续截面，与刚才的证明矛盾。因此它作为一般实线纤维丛也不平凡。

哪些数据还不够 ​

平凡向量丛 $M\times {\mathbb{R}}^r\to M$ 的常值标准基给出全局标架。一般秩 $r$ 丛全局线性平凡，当且仅当有 $r$ 个处处线性无关的全局截面：用这些截面的线性组合构造平凡化，局部逆由可逆标架矩阵给出。秩一的非零截面判据正是此结论的特例。

流形切空间的并集形成切丛，是重要的几何例子。反过来，仅给每点指定一个与 ${\mathbb{R}}^r$ 同构的集合并不构成向量丛：还须给出总空间的拓扑或光滑结构，并验证相容的局部平凡化。纤维维数在同一连通分支上跳变，也不满足固定秩定义。

向量丛可取对偶、直和、张量积和外幂，过渡函数按对应线性代数运算变换。切丛与余切丛公理库切丛与余切丛Tangent bundle · Cotangent bundle把流形各点的切空间及其对偶分别粘合成秩等于流形维数的光滑向量丛。把每点的切空间及其对偶组织成光滑丛；微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。是余切丛外幂的截面。局部写出的向量或微分式必须遵守过渡规则，才能组成全局对象。

过渡函数既负责粘合，也编码整体拓扑。Möbius 例子把这件事落实为两个可计算的符号，再通过反周期函数把整体障碍转成介值定理。一般向量丛中，全局标架的障碍导向Chern类公理库Chern 类Chern classes · Total Chern class由射影丛的唯一首一关系定义Chern类，非循环地证明直和线丛公式，并计算CP2上的负顶类及截面障碍。、Stiefel–Whitney类公理库Stiefel–Whitney 类Stiefel–Whitney classes · Total Stiefel–Whitney class用实射影丛关系构造模2特征类，证明Whitney公式，计算RP2切丛并展示TS2的偶数信息如何丢失。等特征类；选择联络公理库联络与协变导数Connection · Covariant derivative用 Leibniz 规则定义向量丛上的微分，以单位分解构造联络，再用线性方程的平行移动证明光滑可缩底空间上的丛平凡。后，则可沿曲线比较不同纤维的向量。联络是附加选择，特征类描述丛的整体不变量，两者都不是局部平凡性定义的一部分。

更一般底空间上的构造性入口是Grassmann空间的典范丛公理库典范子丛与商丛Tautological vector bundle · Universal subbundle · Tautological quotient bundle在Grassmann图上同时构造典范子丛和商丛，明确正交补的选择性，并核对复射影典范线的负号。：在子空间 $W$ 上放的纤维就是 $W$ 本身。Grassmann分类定理公理库向量丛的 Grassmann 分类Classification of vector bundles · Classifying map to a Grassmannian以单位分解构造丛的有限维嵌入，再用不交坐标块和邻近投影证明有限CW上的Grassmann同伦分类。把任意有限CW底上的丛嵌入某个平凡丛，再由纤维像组成分类映射；丛同构对应分类映射的同伦。

圆周与球面的线丛分类公理库圆周与球面的线丛分类Line bundle classification on S1 and S2 · 圆周实线丛与球面复线丛分类以两开集上的过渡函数分类圆周实线丛与球面复线丛，证明符号和绕数的不变性与完备性，并用局部对数实际构造同构及张量加法。把式 $(1)$ 用到底：圆周实线丛恰有平凡与 Möbius 两类；球面复线丛则由赤道过渡函数的整数绕数完全分类。证明不仅检验不变量在换标架下不变，还用单位分解把零绕数比值的对数拆到两张图上，实际构造丛同构。