正合列

正合性逐点要求“上一箭头产生的元素，恰好是下一箭头送到零的元素”。这有两步：上一映射的像全部进入下一映射的核；核中的每个元素又都能从上一位置找到原像。第一步是复合为零，第二步把包含关系补成相等。

在短正合列中，$u$ 把 $A$ 嵌入 $B$，$v$ 把这部分压成零，剩下的商就是 $C$。因此 $A$ 与 $C$ 分别描述 $B$ 内部的一部分和压缩后的结果；它们之间怎样结合，则由整条正合列记录。

在 $A\stackrel{0}{\to }B\stackrel{0}{\to }C$ 中，前一映射的像为 $0$，后一映射的核为整个 $B$，所以它在 $B$ 处正合当且仅当 $B=0$。两端出现的零也有明确作用：$0\to A\stackrel{u}{\to }B$ 在 $A$ 处正合等价于 $u$ 单射；$B\stackrel{v}{\to }C\to 0$ 在 $C$ 处正合等价于 $v$ 满射。

设 $F$ 的特征为 $0$，$n\ge 1$，$P_n(F)$ 表示次数至多 $n$ 的多项式空间。把 $F$ 作为常数多项式嵌入，求导给出短正合列

常数恰是 $D$ 的核；对 $\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^j$，逐项取原函数 $\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^{j+1}/(j+1)$ 就得到一个原像，因此 $D$ 满射。若 $\mathrm{char}F=p$ 且 $n\ge p$，这两项结论同时改变：$x^p$ 成为非常数的核元素，而 $x^{p-1}$ 没有原像。因为若原多项式中 $x^p$ 的系数为 $a_p$，导数中 $x^{p-1}$ 的系数就是 $p{a}_p=0$。

整数模给出另一种短正合列：$0\to \mathbb{Z}\stackrel{\times 2}{\to }\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0$。乘二的像是偶数，恰好也是模二映射的核。这条列不分裂：若模二映射有同态截面，$[1]$ 就必须映到一个加两次为零的非零整数，而这样的整数不存在。

对于相邻复合为零的模链复形，模同态的核与像公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。的差距由同调 $\ker f_i/\mathrm{im}{f}_{i-1}$ 记录；这一商为零，恰好等价于在该处正合。长正合列便利用这种逐点相等，在相邻的同调群之间传递信息。

若对象是有限维向量空间，短正合列还给出 $\dim B=\dim A+\dim C$。选择 $C$ 的一组基公理库向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。并在 $B$ 中逐个提升，就能构造截面，得到 $B\cong A\oplus C$。上面的整数模例子说明，一般模的短正合列会保留额外的扩张信息，是否能拆成直和由分裂条件公理库分裂正合列Split exact sequence · Splitting lemma短正合列通过同态截面或回缩与子对象和商对象相容地分解。决定。