环的局部化

局部化把指定的分母集 $S$ 变成可逆元。构造类似从整数形成分数，但只允许 $S$ 中的元素作分母。它引入的每个新元素都写成 $r/s$，所以只要确定原环如何映射、分母的逆映到哪里，整个局部化的映射就随之确定，这正是泛性质的内容。

分母可逆后，也会产生新的零关系。若 $sr=0$ 且 $s\in S$，乘以 $s^{-1}$ 就迫使 $r=0$。因此两个分式的交叉差 $r{s}^{\prime }-r^{\prime }s$ 只要被某个分母 $u$ 消去，就应视为相等。定义中的因子 $u$ 正是用来记录这些被局部化变为零的差异。

取 $S=R\setminus \mathfrak{p}$，其中 $\mathfrak{p}$ 是素理想公理库素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。，就允许在该谱点不消失的元素作分母。此时分式描述点附近的函数行为，这也是“局部化”一词的几何来源。

对整环公理库整环Integral domain含单位元 1≠0、无零因子的交换环。取 $S=R\setminus \{0\}$，消去律使分式相等简化为交叉相乘相等，$S^{-1}R$ 就是分式域，例如 $\mathbb{Z}$ 给出 $\mathbb{Q}$。若只取 $S=\{1,2,4,8,\dots \}$，则得到 $\mathbb{Z}[1/2]$：其中有 $3/8$，却没有 $1/3$，因为 $1/3=a/2^n$ 会要求 $2^n=3a$。

对素理想 $\mathfrak{p}$ 取 $S=R\setminus \mathfrak{p}$，所得环记作 $R_{\mathfrak{p}}$。分式 $a/s$ 在 $a\notin \mathfrak{p}$ 时具有逆元 $s/a$，其余分式组成理想 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$，因此它是唯一的极大理想公理库极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。，$R_{\mathfrak{p}}$ 是局部环。

取 $R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$、$S=\{1,2,4\}$。因为 $2\cdot 3=0$ 且 $2$ 被变为单位，局部化中 $3/1=0/1$；规范映射的核为 $(3)$，所得环同构于 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。这个例子也展示了单用交叉相乘的障碍：$(0,1)$ 与 $(0,2)$ 交叉相等，$(0,2)$ 与 $(3,1)$ 也交叉相等，但 $(0,1)$ 与 $(3,1)$ 不满足它。加入定义中的 $u$ 后，这三者才属于同一个等价类。

若 $0\in S$，取 $u=0$ 就使任意两对 $(r,s)$ 等价，所得局部化是零环。这对应含幺环中只有在 $0=1$ 时，零才可逆。

理想 $I$ 扩张到 $S^{-1}R$ 后再收缩，得到

例如把 $\mathbb{Z}$ 中的 $(6)$ 扩张到 $\mathbb{Z}[1/2]$ 后，$3=6/2$ 已落入扩张理想，收缩得到的是 $(3)$。对与 $S$ 不交的素理想 $\mathfrak{p}$，素性则保证 $sr\in \mathfrak{p}$、$s\notin \mathfrak{p}$ 蕴含 $r\in \mathfrak{p}$，所以收缩回原来的 $\mathfrak{p}$。这给出局部化前后素理想的一一对应。

同一套分母怎样作用在模上 ​

固定上面的 $R,S$，对 $R$-模 $M$ 也可构造 $S^{-1}M$。元素写作 $m/s$，并规定 $m/s=m^{\prime }/s^{\prime }$ 当且仅当某个 $u\in S$ 满足 $u(s^{\prime }m-s{m}^{\prime })=0$。加法通分，局部化标量按 $(r/t)(m/s)=rm/(ts)$ 作用；这得到 $S^{-1}R$-模，记号 $M_f$、$M_{\mathfrak{p}}$ 分别取 $S=\{1,f,f^2,\dots \}$、$S=R\setminus \mathfrak{p}$。

模同态逐分式延拓，而且局部化保持正合。若 $L\stackrel{a}{\to }M\stackrel{b}{\to }N$ 正合，$m/s$ 在局部化后被 $b$ 杀掉，就有 $u\in S$ 使 $b(um)=0$。故 $um=a(\ell )$ 对某个 $\ell \in L$ 成立，而 $m/s$ 正是 $\ell /(us)$ 的像；反向包含由 $ba=0$ 得到。有限多个分母还可通到同一个分母，所以局部化与有限直和及有限乘积相容。这些结论不要求模有限生成。[3]

局部化与取商公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。可以配合使用。若 $\overline{S}$ 为 $S$ 在 $R/I$ 中的像，则

左侧表示关于 $\overline{S}$ 的局部化。两边都将 $I$ 中的元素变成零、将 $S$ 中的元素变成单位，所以得到相同的环。

局部化保持Noether 性公理库Noether 环Noetherian ring每个理想有限生成，等价地理想升链最终稳定的环。：局部化环中的理想都是某个原环理想的扩张，原理想的有限生成元取像后仍能生成。它也允许逐点检验模：$M=0$ 当且仅当所有 $M_{\mathfrak{p}}=0$，模同态是否为同构也可在各素理想处判断。

在素谱上，对单个元素的局部化 $R_f$ 对应开集 $D(f)$；对点 $\mathfrak{p}$ 的局部化 $R_{\mathfrak{p}}$ 则描述该点附近的函数芽。前者提供局部的函数环，后者记录一个点处所有可用分母的效果。