Hilbert 空间

内积提供角度、正交与勾股关系，完备性则保证无限逼近不会收敛到空间之外。有限维 Euclidean 几何因此能延伸到函数与序列：可以沿正交方向展开、取极限，并把最佳逼近解释为垂足。

内积决定几何，完备性决定极限是否留在空间中。相应地，每个 Hilbert 空间都是Banach 空间公理库Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。，并具有由内积产生的正交结构。下面的连续函数空间展示这两项条件怎样分别起作用。

${\ell }^2$ 是典型无限维 Hilbert 空间；一般 $L^2(\mu )$ 的完备性由积分范数空间的完备性证明公理库L^p 空间L-p space · Lebesgue space按几乎处处相等取商的积分范数空间；从尖峰和完备性走到共轭指数的对偶表示，并证明有限测度下的反身性。保证，而 $\int \bar{f}gd\mu$ 给出它的内积。它的维数取决于测度空间，例如单点概率空间的 $L^2$ 只有一维；任意有限维实 Euclidean 空间或复 Hermitian 空间自动完备。在 ${\ell }^2$ 中，标准基 $e_n$ 是正交规范族，任意 $x=(x_n)$ 都由部分和 $\sum _{n\le N}{x}_n{e}_n$ 在范数中逼近。

有限维空间自动完备的原因是：选定一组基后，由有限维范数等价性公理库赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。，所有范数都与 Euclidean 范数等价，Cauchy 序列可以逐坐标取极限，所得坐标仍定义空间中的向量。无限维没有“有限个坐标逐一收敛就够了”的保证，完备性才必须作为独立条件写进定义。

$C([0,1])$ 配积分内积不完备：连续函数可以在 $L^2$ 范数下逼近带跳跃的阶跃函数。配上确界范数后，它成为 Banach 空间，却具有不同的几何。取 $f(x)=x$、$g(x)=1-x$，则 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert f+g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert f-g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$，平行四边形恒等式两边分别为 $2$ 和 $4$，所以该范数不来自内积。

有限支撑序列在 ${\ell }^2$ 中稠密而不闭。对无限支撑的 $x\in {\ell }^2$，有限截断可以任意逼近它，所以到该子空间的距离下确界为零；但其中没有点等于 $x$，因而没有最近点。闭子空间排除了这种“极限点缺失”的情形。

平行四边形恒等式公理库平行四边形恒等式的内积刻画Jordan–von Neumann theorem · Parallelogram law characterization范数来自实或复内积，当且仅当它满足平行四边形恒等式。

刻画范数何时来自内积，满足时可用极化公式恢复内积。常见的 ${\ell }^p$ 与 Lebesgue $L^p$ 空间在标准范数下以 $p=2$ 给出 Hilbert 几何：取两个支撑不交、范数为一的函数，就可在 $p\ne 2$ 时验证平行四边形恒等式失败。一维退化情形则没有这两个独立方向。

完备性控制 Cauchy 序列，不能独自保证有界序列存在范数收敛子列。弱拓扑公理库弱拓扑与弱收敛Weak topology · Weak convergence in a Banach space用连续线性泛函定义收敛，在 Hilbert 和有限 Lebesgue 区域的 Lp 空间中构造有界序列的弱子列，并辨认端点集中与弱星紧性的边界。提供另一种极限：Hilbert 空间中每个有界序列都可抽出弱收敛子列，而 ${\ell }^2$ 中标准基 $e_n\rightharpoonup 0$ 的范数仍恒为一。这是无限维极小化问题中保留极限的关键工具。

投影定理公理库Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。为闭线性子空间给出唯一最近点和正交分解；Riesz 表示定理公理库Hilbert 空间 Riesz 表示定理Riesz representation theorem for Hilbert spacesHilbert 空间上的每个连续线性泛函都唯一由与某向量取内积表示。将连续线性泛函表示为与某个向量的内积。前者把逼近问题变成几何投影，后者把对偶作用变成向量配对。

变分问题在连续性、强制性等条件下，把弱解与测试函数配对；Galerkin 方法再将问题限制到有限维子空间，以正交或相应的误差关系估计离散逼近。对平方可积随机变量，条件期望则是投到给定信息所确定的闭子空间：它保留可由该信息解释的部分，剩余误差与该子空间正交。

Fourier 展开把完备正交规范族用作坐标。这里“完备正交族”表示其有限线性组合在空间中稠密，因此部分和可以逼近任意元素；空间的“完备性”则保证 Cauchy 逼近有空间内的极限。这两项分别描述所选方向是否覆盖空间，以及空间是否包含逼近的终点。

再生核 Hilbert 空间进一步要求逐点评价 $f\mapsto f(x)$ 连续。Riesz 表示公理库Hilbert 空间 Riesz 表示定理Riesz representation theorem for Hilbert spacesHilbert 空间上的每个连续线性泛函都唯一由与某向量取内积表示。于是为每个点给出一个向量 $k_x$，满足 $f(x)=⟨k_x,f⟩$（第一变量共轭线性约定）。核方法借此把函数值写成 Hilbert 空间中的配对。