有限域

有限域让有限多个元素对加、减、乘和非零除法保持封闭。模素数 $p$ 的运算提供第一层例子；构造 $p^m$ 个元素的域时，则用 $m$ 个模 $p$ 系数表示一个元素，并规定多项式的高次幂如何化为低次幂。

这种结构的价值在于没有舍入：每次运算精确回到同一有限集合中。另一方面，它没有实数的大小和极限结构。例如有限域里 $1$ 重复相加会回到零，不能同时赋予与域运算相容的实数式全序。

四个元素的域如何乘除 ​

在 ${\mathbb{F}}_2$ 上，多项式 $t^2+t+1$ 在 $0,1$ 处都不为零；二次多项式没有根便不可约。令 $\alpha$ 为 $t$ 的余类，得到

特征为二意味着每个元素加自身都为零。乘法则满足

所以 ${\alpha }^{-1}=\alpha +1$，$(\alpha +1{)}^{-1}=\alpha$。用两个二进制系数保存 $a+b\alpha$ 时，加法就是逐位异或；乘法先展开，再用 ${\alpha }^2=\alpha +1$ 约简。

为什么模四不是四元域 ​

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 也有四个元素，但 $2\cdot 2=0$，且 $2$ 没有乘法逆元，因此它是环而不是域。一般而言，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 只有在 $n$ 为素数时才是域。有限域的元素个数可以是 $9$、$16$、$25$，却不能仅靠“对这个个数取模”构造出来。

域生成元与乘法群生成元 ​

模 $3$ 的 $-1=2$ 不是二次剩余公理库二次剩余Quadratic residue模奇素数同余于某个平方的非零剩余类。，所以 $t^2+1$ 在 ${\mathbb{F}}_3$ 中没有根，是不可约二次多项式。在 ${\mathbb{F}}_9={\mathbb{F}}_3[\alpha ]$ 中取 ${\alpha }^2=-1$。此时

所以 $\alpha$ 的乘法阶为 $4$，没有遍历全部八个非零元素。不可约多项式的根能够生成整个域扩张，与单个元素的幂生成整个乘法群是不同要求。这里令 $\beta =1+\alpha$，则 ${\beta }^2=2\alpha$、${\beta }^4=(2\alpha {)}^2=2=-1$，于是 ${\beta }^8=1$ 而 ${\beta }^4\ne 1$。由Lagrange 定理公理库拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。，其阶整除乘法群的大小 $8$，所以只能为 $8$，可作乘法群生成元。这个计算具体区分了“用加减乘除生成域”与“只用幂遍历非零元”。

在同一个九元域里完成加、乘、除 ​

每个元素唯一写成 $a+b\alpha$，其中 $a,b\in {\mathbb{F}}_3$。沿用 ${\alpha }^2=-1$，乘法就成为

若 $a+b\alpha \ne 0$，乘上 $a-b\alpha$ 会消去交叉项，得到 $a^2+b^2$。在 ${\mathbb{F}}_3$ 中平方只能为 $0,1$，因此 $a^2+b^2=0$ 只有 $a=b=0$ 一种可能；非零元素的逆元遂为

分母及各系数都在 ${\mathbb{F}}_3$ 中运算，特别是 $2^{-1}=2$。

取 $u=1+\alpha$、$v=2+2\alpha$，逐项计算得到

最后一式可以独立核验：$(1+\alpha )(2+\alpha )=2+3\alpha +{\alpha }^2=1$。

多项式与它定义的函数 ​

在 ${\mathbb{F}}_q$ 中每个元素满足 $a^q=a$，所以非零多项式 $t^q-t$ 在全部 $q$ 个点上取值为零。它的次数也是 $q$，恰好达到“非零 $d$ 次多项式至多有 $d$ 个根”的上界。

若把次数限制为小于 $q$，全部点值就唯一决定多项式：两个这样的多项式若点值相同，其差在 $q$ 个点为零，而次数小于 $q$，故差只能是零多项式。这个次数限制把多项式的表示与点值数据联系起来。

素数幂分类的机制 ​

有限性保证 $1$ 反复相加最终回到零。设最小正周期为 $p$；若 $p=ab$ 且 $1<a,b<p$，则非零元素 $a\cdot 1$ 与 $b\cdot 1$ 的乘积为零，违反域没有零因子，所以 $p$ 必为素数。再把有限域看成 ${\mathbb{F}}_p$ 上的有限维向量空间，每个基坐标有 $p$ 种取值，便得到大小 $p^m$。

存在性可以从多项式 $t^{p^m}-t$ 的分裂域公理库分裂域Splitting field使给定多项式完全分裂且由其全部根生成的最小扩域。建立。它的导数为 $-1$，所以有 $p^m$ 个不同根；特征 $p$ 下 $(a+b{)}^{p^m}=a^{p^m}+b^{p^m}$，使根集对加法封闭，乘法、负元和非零逆元也保持根的条件。根集因此本身就是所需的域。任何同样大小的有限域都是这个多项式的分裂域，分裂域的同构唯一性给出分类。

有限域的非零乘法群是大小 $q-1$ 的循环群；加法群则在 $m>1$ 时不是循环群。Frobenius 映射 $a\mapsto a^p$ 是域自同构，迭代 $m$ 次回到恒等映射。在上述 ${\mathbb{F}}_9$ 中，它把 $a+b\alpha$ 变为 $a-b\alpha$，体现了非平凡自同构确实存在。子域也由同一结构控制：${\mathbb{F}}_{p^m}$ 含有大小 $p^d$ 的子域，当且仅当 $d\mid m$，且这一子域唯一。

有限域还可以作为曲线坐标的取值域：椭圆曲线公理库椭圆曲线Elliptic curve带指定有理点的光滑射影亏格一曲线；由短 Weierstrass 方程推导点加法，并完整计算一个九点有限群。把一个非奇异三次方程的解与无穷远点合在一起，通过弦与切线公式构造有限交换群。例如 $y^2=x^3+x+1$ 在 ${\mathbb{F}}_5$ 上有九个点，由 $(0,1)$ 生成；这是曲线点群，与只有四个元素的 ${\mathbb{F}}_5^{\times }$ 不同。

在 Reed–Solomon 编码中，选取 $n\le q$ 个不同域元素，将次数小于 $k\le n$ 的消息多项式编码为这些点上的值。两个不同消息之差次数至多 $k-1$，最多在 $k-1$ 个选定点上为零，因此码字至少有 $n-k+1$ 个位置不同。这个距离界给出最多纠正 $\lfloor (n-k)/2\rfloor$ 个符号错误的能力。

另一条素数幂构造通向p-adic 整数与数公理库p-adic 整数与数p-adic integers and numbers · p进整数与数用相容余数构造 p-adic 整数环与数域，以有界进位证明有理数恰有最终周期的数字展开，并计算精确截断误差。：相容的 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ 余数构成 ${\mathbb{Z}}_p$。当 $n>1$ 时，有限层中的非零类 $p$ 与 $p^{n-1}$ 相乘为零，环的特征为 $p^n$；同样大小的有限域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 则特征为 $p$。无限相容系统 ${\mathbb{Z}}_p$ 是特征零整环，其分式域 ${\mathbb{Q}}_p$ 是特征零的无限域。

模 $p$ 的不可约因子次数可以成为数域的剩余次数，但需先通过Dedekind 分解判据公理库Dedekind 素理想分解判据Dedekind factorization theorem在素数不整除幂基指数时，由模 p 多项式的重数与次数读取素理想分解；完整展示坏指数素数的误判与修正。的指数条件。分圆域公理库分圆域Cyclotomic field单位根生成的数域具有显式的 Galois 群与整数环；在五次分圆域中计算分歧、惰性和完全分裂。提供特别显式的例子：当 $p\nmid n$ 时，Frobenius 把 ${\zeta }_n$ 送到 ${\zeta }_n^p$，剩余次数因而等于 $p$ 在模 $n$ 单位群中的阶。