多项式环

多项式是只有有限多个非零项的系数表，形式幂 $x^i$ 标明第 $i$ 个位置。相乘时，来自 $a_i{x}^i$ 和 $b_j{x}^j$ 的项进入第 $i+j$ 个位置，所以同一次数的所有贡献必须相加；这正是卷积公式的来源。

求值是第二步：指定元素 $s$，把每个 $x^i$ 替换为 $s^i$。多项式环先保留全部系数信息，所以当 $R$ 非零时，$x^2$ 与常数 $1$ 是不同的元素。若要施加关系 $x^2=1$，可取商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。 $R[x]/(x^2-1)$；在商环里，$x^2$ 的剩余类与 $1$ 的剩余类相等。

在 $\mathbb{Z}[x]$ 中，$(1+2x)(3+x)=3+7x+2x^2$。中间系数 $7$ 来自 $1\cdot x$ 和 $2x\cdot 3$ 两项相加，具体展示了卷积如何收集同次项。

在有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 上，形式多项式 $x^p-x$ 非零，却在每个域元素处取值为零。因此它与零多项式具有相同的求值函数，但系数表不同：$x^p$ 的系数分别为 $1$ 和 $0$。多项式相等要求系数逐项相等，求值映射则可以合并不同的多项式。

系数相乘为零时，乘积的最高次项可能消失。例如在 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]$ 中，$2x$ 是一次非零多项式，却满足 $(2x{)}^2=0$。整环中的次数相加规律正是由首项系数的乘积非零来保证的。

若 $R$ 是整环，则 $R[x]$ 也是整环，非零多项式满足 $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$。若 $F$ 是域，则 $F[x]$ 具有 Euclidean 除法结构；进一步引入非零多项式作为分母，得到有理函数域公理库有理函数Rational function · 有理式由两个多项式之商表示，并按交叉相乘关系识别相等表示的函数域元素。 $F(x)$。其中 $f/g$ 与 $h/q$ 相等的条件是 $fq=hg$，与整数分式约分的规则一致。

若要在多元商环中继续区分各个次数，需要分次环与齐次理想公理库分次环与齐次理想Graded ring · Homogeneous ideal通过二次关系逐层算维数，说明齐次理想何以允许商分次，并区分齐次局部化与零次比例环。。关系 $xz-y^2$ 保持次数，其商环第 $m$ 层有 $2m+1$ 个基元素；关系 $x-1$ 却把次数1与次数0识别，不能继承原分次。

在实数或复数上，次数至多 $n$ 的多项式既可用系数表示，也可用 $n+1$ 个互异节点的取值表示。给定节点 $x_0,\dots ,x_n$，Lagrange 多项式

在第 $i$ 个节点取 $1$、其余节点取 $0$，因此 $f(x)=\sum _{i}f(x_i)L_i(x)$。这给出多项式插值公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。的点值表示；差商与 Newton 形式公理库差商与 Newton 插值形式Divided differences · Newton interpolation用递归差商构造可增量扩展的 Newton 插值表示，并以嵌套乘法在线性时间求值。则便于逐个加入节点。

节点差的可逆性在这里有实际作用：整数系数多项式满足 $f(2)-f(0)$ 为偶数，所以不存在同时满足 $f(0)=0$、$f(2)=1$ 的 $f\in \mathbb{Z}[x]$。

求值同态还描述了代数元满足的全部多项式关系。若 $\alpha$ 代数于域 $F$，则映射 $F[x]\to F[\alpha ]$ 的核由 $\alpha$ 的极小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。 $m$ 生成，从而 $F[x]/(m)\cong F[\alpha ]$。多项式环与商环由此把“添入一个根”变成明确的代数构造。

在多元多项式环 $R[x_1,\dots ,x_n]$ 中，还可要求交换变量的编号后多项式保持不变。对称多项式基本定理公理库对称多项式与 Newton 恒等式Symmetric polynomial · Elementary symmetric polynomial · Newton identities · 基本对称多项式 · 牛顿恒等式证明每个对称多项式唯一由基本对称式表示，并用 Newton 恒等式在根的幂和与首一多项式系数之间计算。说明，这个子环恰由基本对称式 $e_1,\dots ,e_n$ 自由生成；证明逐项消去首单项式，不除以系数，因此对有零因子的非零交换环也成立。把变量看成一组根，就能把对称的根表达式转成首一多项式的系数计算。

Laurent 多项式也能保存拓扑计算：Jones 多项式的状态模型公理库Jones 多项式与 Kauffman 括号Jones polynomial · Kauffman bracket把两个平滑的状态和归一化为 Jones 多项式，逐项核验扭圈校正并完整求出三叶结的八状态和。把每个交叉展开成两种平滑，并用 writhe 抵消小扭圈因子。另一类应用来自模素数因式分解：Dedekind 分解判据公理库Dedekind 素理想分解判据Dedekind factorization theorem在素数不整除幂基指数时，由模 p 多项式的重数与次数读取素理想分解；完整展示坏指数素数的误判与修正。在素数不整除幂基指数时，把不可约因子次数与重数转成数域中素理想的剩余次数和分歧指数。