定义Definition

正态分布

Normal distribution · Gaussian distribution · 高斯分布

具有指数平方密度、在仿射变换与独立求和下封闭的概率分布族。

形式陈述

正态分布是一族由均值和方差参数化的连续概率分布；其钟形密度、线性变换封闭性和平方和关系都是这一特定族的结构。

当 $\mu\in\mathbb R$ 、 $\sigma>0$ 时，随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ ，若其概率密度函数为

f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \qquad x\in\mathbb R.

它满足 $\mathbb EX=\mu$ 、 $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$ ；标准化变量 $Z=(X-\mu)/\sigma$ 服从 $N(0,1)$ 。矩母函数与特征函数分别为

M_X(t)=e^{\mu t+\sigma^2t^2/2}, \qquad \varphi_X(t)=e^{i\mu t-\sigma^2t^2/2}.

因此 $aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ 。若有限族 $X_1,\ldots,X_n$ （ $n\ge1$ ）相互独立且 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ ，则 $\sum_{i=1}^nX_i\sim N(\sum_{i=1}^n\mu_i,\sum_{i=1}^n\sigma_i^2)$ ，这可由特征函数乘法验证。允许 $\sigma=0$ 时可把常量 $X=\mu$ 称为退化正态分布，但它没有上述 Lebesgue 密度。

直觉

正态族的关键不只是钟形外观，而是对数密度是关于偏差 $x-\mu$ 的二次函数，并且仿射变换、独立相加仍留在同一族中。许多小而近似独立的扰动累加后在适当条件下趋近正态，这是中心极限定理描述的极限机制；它并不声称任意有限和或任意自然数据都精确正态。

例子与边界

若测量误差 $X\sim N(10,4)$ ，则 $Z=(X-10)/2\sim N(0,1)$ ，事件 $8\le X\le12$ 精确对应 $-1\le Z\le1$ 。标准化把位置与尺度剥离，所有概率都能由同一个标准正态分布函数计算；这也是不同量纲观测可比较的原因。

对称、单峰、钟形并不足以刻画正态。标准 Cauchy 密度 $1/[\pi(1+x^2)]$ 也对称单峰，却有多项式重尾，均值和方差都不存在，更不具有正态的指数平方尾部。反过来， $\sigma=0$ 的退化分布全部质量集中在一点，虽然是正态族的自然参数边界，却不能把 $\sigma=0$ 代入密度公式。在正态族内部，均值和方差唯一确定分布；对一般分布，这两项摘要不足以作出这样的判断。

推论与应用

中心极限定理以标准正态作为广泛的分布极限，依分布收敛负责精确表达这种逼近。矩母函数和特征函数显示独立正态求和的封闭性，并支撑样本均值、线性回归误差与许多检验统计量的计算。多元正态分布需要协方差矩阵及“所有线性组合均为一元正态”等额外结构；其特征函数、退化支撑与条件分布均由这个联合条件推导。本页只给出一元入口，不把任意具有正态边缘的随机向量误认成联合多元正态。

标准正态还有分部积分刻画：对合适的测试函数f，导数期望等于变量乘f的期望。正态Stein方程证明这一测试族如何确定正态分布，并把任意1-Lipschitz目标的期望误差转化为恒等式的偏差。只匹配均值与方差不足以得到这个结论。

正态变量的指数矩还能用于隐私核算。零集中差分隐私利用相邻均值高斯分布的 Rényi 散度等于 $\alpha\Delta^2/(2\sigma^2)$ ，以斜率 $\rho=\Delta^2/(2\sigma^2)$ 记录全部阶数。这里 $\Delta$ 是预先证明的最坏相邻查询差，而非样本上的平均差。

参考资料

MIT OpenCourseWare, 18.05 Introduction to Probability and Statistics, readings on continuous and normal distributions, accessed 2026.
Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, Chs. 4 and 5, normal laws and characteristic functions.