自由模

自由基同时提供生成性与唯一性。生成性让每个元素都有坐标，唯一性让同一个元素不会对应两组不同坐标；等价地，基元素之间的有限线性关系只能是系数全为零的关系。

因此可以自由指定基元素的像。若给定 $g:B\to N$，延拓同态只能取 $\sum r_{b}b\mapsto \sum r_{b}g(b)$；坐标唯一保证这个公式没有冲突。对一般生成集，生成元之间可能已有关系，指定的像就必须满足相同关系。

对非零含幺环 $R$，$R^n$ 是自由模，标准基为坐标向量 $e_1,\dots ,e_n$。域上的向量空间也都自由。相反，$n>1$ 时的 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 不是自由 $\mathbb{Z}$-模：非零元素 $[1]$ 满足 $n[1]=0$，而在自由整数模中，逐坐标相乘说明非零整数倍只会把零元素送到零。

自由模的子模也可能不自由。例如 $I=(2,x)\subset \mathbb{Z}[x]$ 由两个元素生成，却不是主理想。若 $I=(f)$，则 $f$ 同时整除 $2$ 和 $x$，只能是单位，从而 $I=\mathbb{Z}[x]$；但把系数模 $2$ 并令 $x=0$ 后，$I$ 中所有元素都映到零，$1$ 却不为零，矛盾。

若 $I$ 自由，把标量扩张到分式域 $\mathbb{Q}(x)$ 后，自由基就成为这个域上的向量空间基。这次扩张也就是按局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。将 $I$ 的标量扩张：允许除以非零多项式后，$I$ 中的 $2$ 给出 $1=2/2$，所以局部化后的理想是整个 $\mathbb{Q}(x)$，维数为一。原来的自由基因此只能有一个元素，又会使 $I$ 成为主理想，矛盾。

对于 PID，自由模的每个子模仍自由。有限秩情形有一个直接证明：把子模投影到首坐标，像理想由一个元素生成，选其原像作为一个基向量，再对投影的核归纳。完整论证见PID 上有限生成模结构定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。；它还说明关系子模有有限基，因而有限生成模可由有限矩阵呈示。

对非零环 $R$ 和无限集合 $I$，有限支撑函数组成的

以坐标向量 $e_i$ 为基，是自由模。每个元素可以选用不同的有限坐标集合，但单个元素的非零坐标总是有限的。直积 $R^I$ 还包含恒等于 $1$ 的函数，它无法写成有限多个 $e_i$ 的线性组合，所以这些坐标向量不生成整个直积。

自由模的泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。给出描述一般模公理库模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。的方法：为 $M$ 选一组生成元 $S$，把自由模 $R^{(S)}$ 的各个基向量送到相应生成元，就得到满射 $R^{(S)}\twoheadrightarrow M$。其核收集生成元之间的全部关系，继续为核取自由模覆盖，就得到自由分解。

自由模也是投射模公理库投射模Projective module对任意满模同态都能提升出映射、等价地为自由模直和因子的模。：给定满模同态 $q:N\twoheadrightarrow P$ 与 $f:M\to P$，逐个为基向量的像 $f(b)$ 选取 $q$ 下的原像，再按自由模泛性质延拓，就得到 $q\tilde{f}=f$。无限基的同时选择采用通常的选择公理背景。

自由基还简化张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。计算。对右 $R$-模 $N$，有 $N{\otimes }_R{R}^{(S)}\cong N^{(S)}$，同构把 $n\otimes e_s$ 送到第 $s$ 个坐标中的 $n$。因此把一个模表示为自由模的商后，可以从自由坐标开始计算张量积，再加入关系。