模

模把向量空间中的标量域换成一般环，同时保留加法和标量作用的规律。标量能够做哪些运算，会影响模的结构。例如在实向量空间中，$2v=0$ 可以乘以 $1/2$ 得到 $v=0$；在整数模中没有标量 $1/2$，就可能出现非零元素加上自身等于零。这种有限阶信息是模比向量空间更丰富的一部分。

左、右之分决定标量复合的顺序。左模中先作用 $s$ 再作用 $r$，结果是 $(rs)m$；右模中先作用 $r$ 再作用 $s$，结果是 $m(rs)$。若把已有的左作用写成 $mr=rm$，连续右作用会得到 $(sr)m$，与右模所需的 $(rs)m$ 次序相反。交换环上二者一致，因此左右模可以用同一套作用描述。

任意阿贝尔群 $A$ 通过整数倍 $na$ 成为 $\mathbb{Z}$-模；反过来，每个 $\mathbb{Z}$-模的标量作用都由加法群唯一决定。域上的模正是向量空间，环 $R$ 自身按左乘是左正则模；交换环的理想是其子模。

把 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 看成 $\mathbb{Z}$-模，乘 $2$ 的模同态

有非平凡核 $\{[0],[3]\}$：$[3]$ 非零，却满足 $2[3]=[0]$。

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 由 $[1]$ 生成，但生成元满足关系 $2[1]=[0]$，因而不构成自由基。与之相对，${\mathbb{Z}}^2$ 的每个元素都唯一写成 $a(1,0)+b(0,1)$，所以 $(1,0),(0,1)$ 是基。有限个生成元保证线性组合能覆盖全模；成为基还要求表示唯一。

模统一向量空间、阿贝尔群和环上的理想。子模公理库子模Submodule对加法和标量乘法封闭的模子集。与商模给出同构定理，张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。通过双模公理库相反代数与双模Opposite algebra · Bimodule用矩形矩阵说明右作用为何反转复合，构造双模的张量积代数作用并核验端同态环中的 op。连接不同标量环。沿保幺环同态 $R\to S$，限制标量把 $S$-模看成 $R$-模，扩张标量则用 $S{\otimes }_{R}M$ 把 $R$-模送到 $S$-模。 右作用改写成左作用时需要相反环，矩形矩阵的左右乘法能直接核验这个次序。

自由模公理库自由模Free module具有基、因而每个元素可唯一写为有限线性组合的模。拥有基。为一般模选择生成元，可以先构造一个自由模到它的满射；再为核选择生成元，逐层得到自由分解。对于 PID 上的有限生成模，结构定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。进一步给出自由部分与循环挠部分的直和分解。例如整数模 $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 同时具有无限阶的自由部分和有限阶的挠部分。

不再限于PID时，可以先研究单模及其零化理想公理库单模与零化理想Simple module · Annihilator of a module分类二阶上三角代数的全部单模，计算零化理想，并区分单性、一维性、忠实性与不可分解性。。有限维代数的模还带有根与基座滤过公理库根层与基座层Radical filtration · Socle filtration · Loewy filtration从根的像与零化子构造两条典范滤过，完整计算四维模，并用二维参数族说明层数据不能分类模。：前者逐层取根作用的像，后者逐层取被根杀掉的部分。滤过保留层次信息，但同样的单层仍可能有不同连接参数。