商模

商模把子模 $N$ 中的方向统一视为零，只保留模 $M$ 沿这些方向之外的差异。两个元素代表同一商类，当且仅当它们的差属于 $N$；子模对加法与标量作用封闭，正好保证商类上的两种运算不依赖代表元。

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 把相差 $n$ 的整数视为相同。向量空间 ${\mathbb{R}}^2/\mathrm{span}(e_1)$ 则把相同高度的点归为一类：整个水平直线对应一个商元素，由竖直坐标标记，因此商空间同构于 $\mathbb{R}$。在有限维向量空间中，这种压缩满足 $\dim (M/N)=\dim M-\dim N$。

取 $M={\mathbb{Z}}^2$ 与子模 $N=2\mathbb{Z}\times \{0\}$。映射

的核正是 $N$，于是

第二个坐标仍是任意整数，第一个坐标则只保留奇偶性。这说明对一般模取商时，除了减少自由方向，还会产生挠：$[(1,0)]$ 非零，但加两次就为零。

子模的标量封闭性是运算良定义的关键。例如将 $\mathbb{C}$ 看成复向量空间，$\mathbb{R}$ 虽是它的加法子群，却不是复子空间。在加法商 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 中有 $[0]=[1]$，乘以 $i$ 后却有 $[0]\ne [i]$，所以这个商不能继承原来的复标量作用。

商模编码“加入线性关系”。对模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。 $f:M\to P$，在源端商去核得到 $M/\ker f\cong \mathrm{im}f$；在目标端商去像则得到余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。 $P/\mathrm{im}f$。对于任意子模 $N\subseteq M$，典型的短正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。

把子模、母模与商模连在一起。若能由模同态为每个商类选回一个代表元，这条列就成为分裂正合列公理库分裂正合列Split exact sequence · Splitting lemma短正合列通过同态截面或回缩与子对象和商对象相容地分解。，并给出 $M\cong N\oplus M/N$。

有限呈示模从有限秩自由模出发，商去有限条关系生成的子模。采用列向量约定时，关系写成矩阵 $A$ 的列，所得商为 $R^m/A{R}^n$；右乘可逆矩阵重组关系，左乘 $U$ 则通过 $[x]\mapsto [Ux]$ 改变商的坐标。

在 PID 上，可用Smith 正规形公理库PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。化简关系矩阵，再由结构定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。读出自由与挠部分。三生成元的整数商群算例公理库有限生成阿贝尔群结构定理Structure theorem for finitely generated abelian groups每个有限生成阿贝尔群唯一分解为自由部分与有限循环素幂部分。进一步写出了原生成元的像与逆映射，并检查改变代表元只增加关系；这正是本页泛性质的具体应用。