正定与半正定矩阵

实数情形的 $x^{\mathsf{T}}Ax$ 是二次型公理库二次型Quadratic form把向量映为二次齐次标量的函数，并通过极化与对称双线性形式相联系。；复数情形的 $x^{\ast }Ax$ 则是 Hermitian 形式的自配对，按 $|a{|}^2$ 缩放，而非复代数二次型所要求的 $a^2$。两者都给每个方向赋予实值能量。正定意味着除原点外没有平坦方向或负能量方向；半正定允许某些非零方向能量为零，但仍禁止向下弯曲。谱分解把空间旋转到特征向量坐标后，这个能量成为 $\sum _i{\lambda }_i|y_i{|}^2$，所以定性完全由特征值符号控制。

Gram 表示 $A=B^{\ast }B$ 说明半正定矩阵是在记录一组向量的内积：$A_{ij}=⟨b_i,b_j⟩$。零特征值意味着这些向量存在依赖，也意味着能量模型无法区分某些方向。

矩阵

的特征值为 $1,3$，并且

对 $(x,y)\ne (0,0)$ 成立，所以 $A$ 正定。Gram 矩阵总是半正定；若生成它的向量线性相关，Gram 矩阵会奇异，只是半正定而非正定。协方差矩阵也是这一情形：随机变量之间的精确线性关系会产生零方差方向。

对角元只记录标准基方向上的值。矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 的两个对角元都为正，但在 $x=(1,-1)$ 上二次型取 $-2$，所以有负能量方向。可逆性则只排除零特征值，例如 $\mathrm{diag}(1,-1)$ 可逆，却同时保留正、负方向。

半正定判据中，任意指标子集都可能提供关键信息。$\mathrm{diag}(0,-1)$ 的两个顺序主子式都是 $0$，而取 $I=\{2\}$ 得到主子式 $-1$，直接识别出第二个坐标方向上的负值。

正定矩阵定义一个内积公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。 $⟨x,y{⟩}_A=x^{\ast }Ay$，从而产生范数与椭球几何。半正定矩阵按 Loewner 序组织：$A⪰B$ 表示 $A-B⪰0$，这是矩阵不等式、协方差比较与凸优化的基本语言。

对开集上的二阶连续可微函数，若 $\mathrm{\nabla }f(x_0)=0$ 且 ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x_0)\succ 0$，则 $x_0$ 是严格局部极小点。驻点条件消去一阶项，使正的二阶项决定附近的变化。对比 $f(x)=x^2+x$：它在 $0$ 处的二阶导数为 $2$，但 $f(-\epsilon )={\epsilon }^2-\epsilon <0=f(0)$（$0<\epsilon <1$），因为一阶项主导了这一侧的变化。若定义域是开凸集，则 Hessian 处处半正定当且仅当函数凸。

最小二乘中的 $A^{\ast }A$ 总是半正定，因为 $x^{\ast }{A}^{\ast }Ax=\Vert Ax{\Vert }^2$；它正定恰好等价于 $\ker A=\{0\}$，即 $A$ 满列秩，此时最优参数解唯一。对已给定的正定矩阵，Cholesky 分解可直接用于求解；对秩亏的半正定矩阵，带主元的分解或 SVD 则能展示其零方向。

这一序关系也用于概率估计：对 $t\ge 0$，Hermitian 矩阵 $S$ 满足 $\Vert S{\Vert }_2\le t$ 当且仅当 $-tI⪯S⪯tI$。矩阵 Bernstein 不等式公理库矩阵 Bernstein 不等式Matrix Bernstein inequality · 矩阵伯恩斯坦不等式用逐项谱范数与矩阵方差控制独立中心化 Hermitian 矩阵和，借助 Lieb 凹性完成非交换指数矩证明，并计算随机图邻接矩阵的统一方向误差。将独立随机误差之和夹在这两个确定矩阵之间；平方项 $X_k^2⪰0$ 则让方差可以通过 Loewner 序累积控制。