柯西序列

假设一连串近似值正被逐步算出，但准确答案还不知道。此时无法直接测量“近似值离答案多远”，却可以比较不同阶段的近似值。Cauchy 条件要求：精度给得再高，最终整段尾部内部的差别都能小于它。固定其中一项 $x_N$ 作中心，尾部就落入半径 $\epsilon$ 的球中；中心可以随着精度改变，并不是已经找到了极限。

这种稳定性只约束项与项之间的距离。要让这些近似值真正落到空间内的某一点，还需要空间没有相应的缺口。实数公理库实数系Real number system · Ordered complete field满足序域公理与上确界完备性的数系。的一种构造正是把有理 Cauchy 序列按“彼此之差趋零”归为同类，再用这些类补入有理数中缺失的极限。

在 $\mathbb{Q}$ 中用通常距离，明确令

其中 $\lfloor u\rfloor$ 是不超过 $u$ 的最大整数，所以前几项为 $1,1.4,1.41,1.414,\dots$，且 $0\le \sqrt{2}-q_n<{10}^{-n}$。若 $m\ge n\ge N$，十进截断从下方逐步增加，故 $0\le q_m-q_n<{10}^{-n}\le {10}^{-N}$。给定 $\epsilon$，选 ${10}^{-N}<\epsilon$ 即满足柯西条件；$m<n$ 时交换两项即可。

这个估计在 $\mathbb{R}$ 中也证明 $q_n\to \sqrt{2}$。若它在 $\mathbb{Q}$ 中收敛到某个有理数，同一距离会使它在 $\mathbb{R}$ 中也收敛到该数，与极限唯一性矛盾。这里借已知实数说明 $\mathbb{Q}$ 的缺口，并不是用 $\sqrt{2}$ 预先完成从有理数构造实数的工作。

一个常见误解是把柯西条件弱化成"相邻项越来越近"。这不够：调和级数部分和 $H_n=\sum _{k=1}^{n}1/k$ 满足 $|H_{n+1}-H_n|=\frac{1}{n+1}\to 0$，却发散到无穷（$H_{2n}-H_n\ge \frac{1}{2}$ 对所有 $n\ge 1$ 成立，直接违反柯西条件）；$x_n=\sqrt{n}$ 同理。量词"任意 $m,n\ge N$"不能换成"$m=n+1$"。

完备与否依赖度量而非底层集合：$(0,1]$ 带通常度量不完备（$x_n=1/n$ 是柯西序列而无极限），但同一集合改配度量 $d(x,y)=|1/x-1/y|$ 后与实数的闭子集 $[1,\mathrm{\infty })$ 等距；由完备空间的闭子空间性质公理库完备度量空间Complete metric space每个 Cauchy 序列都在空间内部收敛的度量空间。，它变成完备空间——此时 $1/n$ 根本不再是柯西序列。

柯西序列是完备化的原料：从 $\mathbb{Q}$ 构造 $\mathbb{R}$、从任意度量空间构造其完备化，以及把赋范空间补成 Banach 空间公理库Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。，基本做法都是对 Cauchy 序列取等价类。级数的 Cauchy 判据、绝对收敛公理库级数绝对收敛Absolute convergence of series若各项绝对值组成的级数收敛，则原级数绝对收敛并必收敛。蕴含收敛以及一致收敛的尾部控制，也都把未知的外部极限转化为可估计的序列尾部。Banach 不动点定理公理库Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备空间中的统一压缩给出唯一不动点；用几何尾和证明收敛，并把后验误差与残差转成停止证书。同样先证明迭代序列是 Cauchy 序列，再利用完备性取得极限。

两个基本推论可以直接从尾部控制看出。取 $\epsilon =1$，尾部都在 $x_N$ 附近，有限个初项再纳入一个较大球，便知柯西序列有界。若某条子列趋于 $x$，先让尾部任意两项相距小于 $\epsilon /2$，再选一个同属尾部、离 $x$ 小于 $\epsilon /2$ 的子列项。三角不等式就把整个尾部到 $x$ 的距离控制在 $\epsilon$ 内。

数值计算中，小更新量需要额外估计才能变成可靠的停止信号。例如若 $0<q<1$ 且始终有 $d(x_{k+1},x_k)\le C{q}^k$，把相邻距离相加，再用几何级数公理库级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。的尾和公式可得

这既证明序列是柯西序列，也在空间完备时给出到极限的误差上界。收缩估计是充分办法之一，并非所有可靠停机规则的必要条件；其他问题可借助逆算子界或条件数建立停止准则和误差证书公理库残差、误差估计与停止准则Residual and error estimation · Stopping criterion区分可计算残差与未知真误差，并说明把缺陷转成误差界和停止证书所需的条件。。