完备度量空间

构造极限时，人们通常先得到一串逐渐稳定的近似，却不知道答案是什么。Cauchy 条件把这种“近似之间已经互相一致”的状态表达出来。完备性负责保证：序列自己指向的极限不会落在空间之外。

Cauchy 条件控制整个尾部：给定误差后，任意两个足够靠后的近似都互相接近。相邻两项接近则是更弱的信息，例如调和级数的部分和满足相邻差趋零，总和却趋向无穷。

从较大的完备空间看，不完备空间缺少某些 Cauchy 列的极限。补入这些点，并保留原来的距离，就得到完备化；下面的有理数与有限支撑序列展示了两种补全过程。

度量同时规定了局部邻近关系和远处两点的误差尺度。两个度量即使给出相同的开集，也可能对哪些序列满足 Cauchy 条件作出不同判断，因此完备性需要连同度量一起讨论。

实数轴 $\mathbb{R}$ 配通常距离是完备的，这与实数完备性公理库实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。等价。有限维 Euclidean 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 也完备：Cauchy 列有界，Bolzano–Weierstrass 定理公理库Bolzano–Weierstrass 定理Bolzano–Weierstrass theorem实数空间中的每个有界序列都存在收敛子列。给一条收敛子列，再由 Cauchy 尾部估计将其极限传给整列。其中的闭子集配限制度量仍然完备。

有理数空间 $\mathbb{Q}$ 不完备。以正有理数为初值开始 Newton 迭代

时，每一项仍为有理数，而从第一步起各项不低于 $\sqrt{2}$ 且单调递减，由单调有界序列定理公理库单调有界序列收敛定理Monotone convergence theorem for sequences每个单调且有界的实数序列都收敛。在 $\mathbb{R}$ 中收敛；代入递推的极限得到 $\sqrt{2}$。它在 $\mathbb{Q}$ 中是 Cauchy 序列，却没有极限。这个例子说明 Cauchy 性可以完全在子空间内部检测，而极限是否存在取决于空间是否补全。

完备空间中的闭子集必完备。反过来，任意度量空间中的完备子空间必为闭集：若子空间中的序列在外部空间收敛到某点，它同时是子空间中的 Cauchy 序列；完备性迫使极限仍在子空间内。于是开区间 $(0,1)$ 不完备，因为 $1/n$（$n\ge 2$）是其中的 Cauchy 序列，极限 $0$ 却被删掉了。

开区间 $(0,1)$ 还可以换用度量

映射 $x\mapsto \log (x/(1-x))$ 把这个度量空间等距映到通常距离下的 $\mathbb{R}$，所以 $\rho$ 完备；它也保持原有拓扑。在通常距离下趋向缺失端点的 $1/n$（$n\ge 2$），经此映射变成 $-\log (n-1)$，不再是 Cauchy 列。同一拓扑由此可以配有完备或不完备的度量。

在序列空间中，补全会加入新的无限序列。令 $c_{00}$ 为所有有限支撑实序列，并使用上确界范数。取

若 $m>n$，则

所以 $(x^{(n)})$ 是 Cauchy 序列。它的极限 $(1,1/2,1/3,\dots )$ 不再具有有限支撑，因而不属于 $c_{00}$。在这一范数下，$c_{00}$ 的完备化是趋于零的序列空间 $c_0$。

由紧空间的度量序列刻画公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。，紧度量空间中每个序列都有收敛子列，因而每个 Cauchy 列都有极限。反过来，完备空间加上全有界性便是紧空间：全有界性允许用有限个任意小的球覆盖空间，从而抽出 Cauchy 子列。实数轴完备，却没有这种有限覆盖，因此不紧。

任何度量空间都能等距地稠密嵌入某个完备空间，其完备化在固定原空间的等距同构意义下唯一。实数可由有理数的 Cauchy 序列构造，$L^p$ 空间也可看作对较简单函数类按相应范数补全。完备化把“极限过程需要的新对象”系统地加入，而不会改变原空间已有的距离。

Banach 不动点定理公理库Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备空间中的统一压缩给出唯一不动点；用几何尾和证明收敛，并把后验误差与残差转成停止证书。把完备性直接转化为存在唯一性。压缩映射生成的迭代序列先由收缩估计证明为 Cauchy 序列，再由完备性得到空间内的极限；连续性随后证明该极限是不动点。例如开区间中的反复减半会趋向空间外的零点。

完备的赋范空间称为Banach 空间公理库Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。，完备的内积空间称为Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。。开映射定理、闭图像定理和一致有界原理公理库一致有界原理Uniform boundedness principle · Banach–Steinhaus theorem一族有界线性算子若逐点有界，则其算子范数一致有界。都以这种完备性为前提，并通过 Baire 纲定理把逐点信息提升为整体结论。

在微分方程与数值分析中，若对近似解证明了 $\Vert u_m-u_n\Vert \to 0$，完备性就提供所选函数空间内的候选极限。再通过方程各项的连续性或相应极限定理传递等式，才能确认候选极限满足原方程。这样，误差估计、极限存在和方程成立各有明确的一步。

有理数上的不同距离会产生不同的完备化。通常距离给出 $\mathbb{R}$；使用 $d_p(x,y)=|x-y{|}_p$ 则得到 p-adic 数域公理库p-adic 整数与数p-adic integers and numbers · p进整数与数用相容余数构造 p-adic 整数环与数域，以有界进位证明有理数恰有最终周期的数字展开，并计算精确截断误差。 ${\mathbb{Q}}_p$。例如 $d_p(p^n,0)=p^{-n}\to 0$，而 $p^n$ 在通常距离下趋向无穷。距离选择决定了哪些逼近需要补入极限。