域

域允许在同一个集合中进行加、减、乘以及除以非零元素。除法是乘逆元的简写：$b/a=a^{-1}b$；它不是额外独立给定的运算。零不能作为分母，因为 $0c=0$ 对任何 $c$ 都成立，无法等于 $1\ne 0$。

常见代数结构逐步增加了运算能力：环里能加减乘；整环公理库整环Integral domain含单位元 1≠0、无零因子的交换环。要求非零、交换、含幺且没有零因子，非零乘数可以约去；域再要求这些乘数拥有逆元。约去只能从 $ax=ay$ 推出 $x=y$，有逆元却还能保证 $ax=b$ 对每个 $b$ 都有解 $x=a^{-1}b$。例如在整数中 $2x=1$ 无解，在有理数中则可解为 $1/2$。

条件 $1\ne 0$ 保证域至少有两个元素；若 $1=0$，则任意 $a=a\cdot 1=a\cdot 0=0$，得到的是只有一个元素的零环。

$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 都是域。对素数 $p$，$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是有限域公理库有限域Finite field · Galois field底层集合有限的域。：每个非零剩余类都与 $p$ 互素，由 Bézout 恒等式可逆；例如在 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 中 $2\cdot 3=6\equiv 1$，故 $2^{-1}=3$。

$\mathbb{Z}$ 是整环但不是域，因为 $2$ 的逆元 $1/2$ 不在 $\mathbb{Z}$ 中。合数 $n$ 时，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 还会出现零因子公理库单位与零因子Unit · Invertible element · Zero divisor环中的可逆元素，以及能与某个非零元素相乘得到零的非零元素。；如模 $6$ 时 $2\cdot 3=0$，两个因子却都非零。域没有零因子：若 $ab=0$ 且 $a\ne 0$，乘 $a^{-1}$ 便得 $b=0$。

有限整环必是域。固定 $a\ne 0$，乘法映射 $x\mapsto ax$ 因可约去而单射；有限集合上的单射自动满射，于是 $1$ 落在像中，给出 $a$ 的逆元。因此“整环而非域”的现象只能发生在无限结构上。

向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。以域为标量集合。高斯消元公理库行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。中，若主元为 $a\ne 0$，将该行乘以 $a^{-1}$ 就能把主元变成 $1$，再用行相减消去同列其他元素。这些行操作都有逆操作，因此保持方程组的解集。

域上的一元多项式环公理库多项式环Polynomial ring系数来自给定环、以形式不定元构造的多项式集合。 $F[x]$ 是欧几里得整环：除式的最高次系数可逆，使带余除法能逐次降低次数，进而计算最大公因式。在域中添加多项式的根则引出域扩张公理库域扩张Field extension一个域作为另一域子域时形成的包含关系与相应向量空间结构。；例如从 $\mathbb{R}$ 加入 $x^2+1$ 的根 $i$，得到 $\mathbb{C}$，其中每个元素唯一写成 $a+bi$。