度量空间

距离不是只能测尺子上的长度。只要一个比较规则满足三条公理，就可以用同样的语言讨论靠近、极限、连续和误差；点可以是数字、字符串、图的顶点，甚至整个函数。

计算距离时，先固定对象所在的空间与比较规则。例如二维点 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的欧氏距离为 $\sqrt{2}$，沿坐标移动的距离为 $2$；两者都满足公理，并非其中一个计算错误。判断某规则是否为度量，需要验证全部公理；在无限空间中，有限抽样不能代替全称证明。若空间有限，则可以穷尽所有点对和三元组来完成验证。

三角不等式尤其适合组合误差。若真实对象 $x$ 先被近似成 $y$，算法再输出 $z$，则总误差至多是两段误差之和。一个所谓“距离”若连这一点都不满足，许多基于分步估计的论证就不能直接搬用。

但同一个集合可以有不同的距离。换一种距离，有时只是换单位，有时却改变哪些点接近、哪些序列收敛。理解一个度量空间，要同时知道“点是什么”以及“距离如何算”，不能只写出集合名。

不同的点，需要不同的距离 ​

实数上的 $d(x,y)=|x-y|$ 给出通常数轴。${\mathbb{R}}^m$ 上常用欧氏距离 $\sqrt{\sum _i(x_i-y_i{)}^2}$，也可以用 $\sum _i|x_i-y_i|$：后者的二维单位球是菱形，距离反映沿坐标方向移动的总长度，而不是直线长度。

等长字符串上的 Hamming 距离统计不同的位置数。例如取 $x=0000$、$y=0100$、$z=0111$，逐位比较得到 $d(x,y)=1$、$d(y,z)=2$、$d(x,z)=3$。先改第二位，再改第三、第四位，正好把三处差异分成两段。

为什么这种距离对所有等长字符串都满足三角不等式？若 $x,z$ 在某个位置不同，$y$ 在该位置不可能同时等于二者，所以 $x,y$ 或 $y,z$ 至少有一对在该位置不同。右边统计的差异次数可能重复，却不会漏掉左边的差异；逐位置相加便有 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$。相同字符串距离为零、不同字符串至少差一位，对称性也由逐位比较直接得到。

在有限连通无向图中，若每条边长度严格为正，则最短路长度也是度量。连通性保证任意两点有有限距离，正边长与有限性保证不同点之间距离为正，拼接两条路径证明三角不等式。若边有方向，对称性可能失败；若图不连通，把不同分量的距离记作无穷大得到的是扩展度量。

在无限图中，正边长本身不够：固定不同顶点 $u,v$，对每个 $n\ge 1$ 添加中间点 $w_n$，两条边 $u$—$w_n$、$w_n$—$v$ 都长 $1/n$。从 $u$ 到 $v$ 的路径长度下确界为 $0$，且没有最短路径；把这个下确界当作距离会违反正定性。

看起来像距离，却少了一条公理 ​

平方差 $d(x,y)=|x-y{|}^2$ 非负、对称，并能区分点，却不是度量：在 $0,1,2$ 处有

平方误差可以作为损失函数，但不能据此使用普通距离的三角不等式。

再看 $\rho (x,y)=|x^2-y^2|$。它满足对称性和三角不等式，却有 $\rho (1,-1)=0$。这是伪度量：规则只能区分不同平方值，无法区分一对互为相反数的输入。把零距离的点合并成商集公理库商集Quotient set · Set of equivalence classes等价关系的所有等价类组成的集合。中的等价类后，可以定义

这里 $[x]$ 是所有与 $x$ 零距离的点组成的类。若 $x$ 与 $x^{\prime }$、$y$ 与 $y^{\prime }$ 分别零距离，三角不等式给出 $\rho (x,y)\le \rho (x,x^{\prime })+\rho (x^{\prime },y^{\prime })+\rho (y^{\prime },y)=\rho (x^{\prime },y^{\prime })$；交换两对代表元又得到反向不等式，故定义不依赖代表元。在本例中，每个类恰由相同平方值的实数组成，商空间可用 $x^2\in [0,\mathrm{\infty })$ 标记，其距离就是这些平方值的通常距离。

离散与函数空间 ​

在任意集合上规定不同点距离为 $1$、相同点距离为 $0$，得到离散度量。半径小于 $1$ 的球只有中心一点；序列要收敛，就必须从某项起等于极限。熟悉的“数值逐步逼近”图像，在这里变成了“最终完全一致”。

在 $C([0,1])$ 上，

这个上确界公理库上确界与下确界Supremum and infimum在偏序中分别作为集合最小上界与最大下界的最紧边界元素。测量整个区间上的最坏误差；连续性和区间紧性保证距离有限。$f_n(x)=x^n$ 虽然在每个固定点有极限，但逐点极限 $h$ 在 $x<1$ 时为 $0$、在 $x=1$ 时为 $1$，并不连续，已经不属于这个空间。即使扩大到有界函数来比较，对每个 $n\ge 1$ 仍有 $\underset{x}{sup}|f_n(x)-h(x)|=1$：靠近但不等于 $1$ 时，误差任意接近 $1$。逐点接近与统一接近不是同一要求。

收敛、Cauchy 与完备性 ​

序列 $x_n$ 收敛到 $x$，是指 $d(x_n,x)\to 0$；它是 Cauchy 序列，是指后面的项彼此越来越近，即对每个 $\epsilon >0$，存在 $N$ 使 $m,n\ge N$ 时 $d(x_m,x_n)<\epsilon$。

三角不等式也保证极限唯一：若 $x_n$ 同时趋于 $x,y$，则 $d(x,y)\le d(x,x_n)+d(x_n,y)\to 0$，故 $x=y$。收敛序列一定 Cauchy，因为两项可以经由同一个极限点估计距离。反向需要完备性公理库完备度量空间Complete metric space每个 Cauchy 序列都在空间内部收敛的度量空间。：空间必须包含这些逼近应当抵达的点。有理数用通常距离不完备，实数完备；两者采用相同的距离公式，差别在于空间是否包含极限。

度量空间紧致当且仅当它完备且全有界；全有界要求每个 $\epsilon >0$ 都有有限个半径为 $\epsilon$ 的球覆盖空间。无限离散空间有界且完备，却不全有界，因为半径小于 $1$ 的球只能包含一个点。因此一般度量空间中的闭且有界不能代替紧致。

保留开集，不一定保留 Cauchy 性 ​

若两个度量满足固定常数 $0<c\le C<\mathrm{\infty }$ 下的

则它们有相同的收敛序列、Cauchy 序列和完备性。这种双边控制不仅保留哪些集合开，还统一控制所有距离尺度；有限维实或复向量空间上的任意两种范数具有相应的等价性；这也是它们诱导相同收敛概念的原因。

只保留拓扑则不够。在 $\mathbb{R}$ 上，$\rho (x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ 与通常距离产生相同开集，但序列 $n$ 在 $\rho$ 下是 Cauchy 的，因为 $\arctan n\to \pi /2$；它没有实数极限，故该度量不完备。完备性属于度量或其一致结构，不是裸拓扑的性质。

有些变换会保留更多信息。例如 $\tilde{d}=d/(1+d)$ 是有界度量。对 $a,b\ge 0$，有 $(a+b)/(1+a+b)\le a/(1+a)+b/(1+b)$，结合单调性可验证三角不等式。对每个 $0<\epsilon <1$，有 $\tilde{d}<\epsilon ⟺d<\epsilon /(1-\epsilon )$，因此它保留与 $d$ 相同的收敛和 Cauchy 序列。可见“把距离压进有限区间”本身并不决定是否保留完备性。

赋范向量空间公理库赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。通过 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ 提供大量度量；等距映射则逐点对保持距离，但不一定满射。最短路、误差估计和迭代收敛共享这套接口，具体性质仍须由各自的距离公理和空间假设保证。