张量积

张量积把“双线性依赖两个输入”的问题转换为“线性依赖一个新输入”。关系 $(v+v^{\prime })\otimes w=v\otimes w+v^{\prime }\otimes w$ 等正是强制双线性所需的最小关系。

可以具体构造这个空间：先取以所有符号 $[v,w]$ 为基的自由向量空间，再商掉由

生成的子空间（$a\in F$）。所得商向量空间公理库商向量空间Quotient vector space按子空间诱导的陪集等价关系取商并继承向量运算的空间。中的类 $[v,w]$ 记为 $v\otimes w$。任意双线性 $B$ 在线性延拓后恰好消去这些关系，故能下降到商空间；纯张量生成整个商空间，又保证下降后的映射唯一。

用矩阵看见纯张量与张量之和 ​

在选定基后，$F^m\otimes F^n\cong F^{mn}$，也可把这些坐标排成 $m\times n$ 矩阵。纯张量 $v\otimes w$ 对应外积 $v{w}^{\mathsf{T}}$，每个位置的值为 $v_i{w}_j$，因而矩阵的秩至多为一。相比之下，笛卡尔积 $F^m\times F^n$ 只是分别保存两个向量，维数为 $m+n$。

在 $F^2\otimes F^2$ 中，$e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2$ 对应秩为 $2$ 的单位矩阵，因此它是两个纯张量之和，却不能写成单个纯张量。

把非零纯张量再按整体比例识别，就得到Segre嵌入公理库Segre 嵌入Segre embedding把射影乘积识别为秩一矩阵的闭子概形，逐图恢复两组坐标，并证明光滑二次曲面的两族直线。的像。它用全部二阶子式把射影空间乘积刻画为秩1矩阵；在 ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ 中，两因子分别固定时产生二次曲面上的两族直线。

一次双线性计算如何变成线性计算 ​

取 $B(v,w)=v_1{w}_2-v_2{w}_1$。其唯一线性分解在基上的值为 $\tilde{B}(e_1\otimes e_2)=1$、$\tilde{B}(e_2\otimes e_1)=-1$，两个对角基向量映为零。于是 $\tilde{B}$ 读取张量坐标后，只需把两个非对角坐标相减。

例如对 $(v,w)=((1,2),(3,4))$，张量按 $e_1\otimes e_1,e_1\otimes e_2,e_2\otimes e_1,e_2\otimes e_2$ 的顺序有坐标 $(3,4,6,8)$。线性计算给出 $4-6=-2$，与直接求 $1\cdot 4-2\cdot 3$ 相同。

从向量空间推广到模 ​

这一节是一般环上的可选分支。设 $R$ 为交换含幺环，$M,N$ 为幺 $R$-模公理库模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。。$M{\otimes }_{R}N$ 是一个 $R$-模，配有映射 $(m,n)\mapsto m\otimes n$，使任意到 $R$-模 $L$ 的 $R$-双线性映射 $M\times N\to L$ 都唯一经由它分解为 $R$-模同态。这里双线性除了两变量分别可加，还要求标量能在两边转移：

具体构造仍是先取符号 $[m,n]$ 生成的自由 $R$-模，再商掉两变量的加法关系和上述标量关系。向量空间证明泛性质的办法逐字适用，但一般模未必有基，所以不能再用“两个基两两配对”描述所有张量积。

对非交换含幺环，也有右模与左模的张量积：若 $M$ 是右 $R$-模、$N$ 是左 $R$-模，取符号 $m\otimes n$ 生成的阿贝尔群，商去两变量的加法关系及

所得对象首先是阿贝尔群，满足到任意阿贝尔群的平衡双加性映射的唯一因子化性质。一般不能直接给它一个 $R$-模结构，也不能在不改变左右作用的情况下交换两个因子。若 $R$ 交换，两边按同一标量作用看作左右模，才恢复前面定义的 $R$-模张量积。以下商模与正合性公式仍在已声明的交换环范围内。

若 $f:M\to M^{\prime }$ 为模同态，公式

尊重这些关系，因而定义一个模同态。最基本的同构为 $R{\otimes }_{R}M\cong M$，把 $r\otimes m$ 送到 $rm$，逆映射为 $m\mapsto 1\otimes m$。若 $I\subseteq R$ 为理想，则还有

其中 $IM$ 是有限和 $\sum _j{i}_j{m}_j$（$i_j\in I$）组成的子模。正向公式与 $r$ 的代表元无关；逆映射 $m+IM\mapsto [1]\otimes m$ 也有定义，因为 $[1]\otimes (im)=[i]\otimes m=0$。两公式复合为恒等，便证明了同构，而不只是给出元素之间的对应。

底环会影响结果，例如对正整数 $m,n$，

这是把上面的商模公式用于 $R=\mathbb{Z}$、$I=n\mathbb{Z}$、$M=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 得到的：商掉 $nM$ 后，剩下由一个元素生成、同时满足 $m$ 倍和 $n$ 倍为零的循环群，其阶为 $gcd(m,n)$。

张量函子右正合：若 $A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C\to 0$ 是正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。，则

也正合。证明的关键是 $C\cong B/\mathrm{im}f$：在 $B{\otimes }_{R}M$ 中商掉 $f(a)\otimes m$ 生成的子模后，$b\otimes m$ 只依赖 $b$ 在 $C$ 中的类，于是泛性质给出该商与 $C{\otimes }_{R}M$ 的互逆映射。因此后一映射满射，其核恰为前一映射的像。

它却不必保留单射。例如单射 $\mathbb{Z}\stackrel{\times 2}{\to }\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 做张量后，变为 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上的乘二映射，即零映射。域上的向量空间张量保持正合列；一般环上的对应条件由平坦模公理库平坦模Flat module · Flatness张量后保留所有单射的模；以整数短正合列和局部化证明有理数模平坦但不投射。刻画，该页用同一条整数正合列比较 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Q}$，并证明后者虽平坦却不投射。

张量积的泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。让多输入的线性问题可以逐步合并：双线性映射经张量积变为线性映射，更多输入则使用迭代张量积。进一步加入交替关系得到外代数公理库外代数Exterior algebra把张量代数按 v⊗v=0 的关系取商所得的分次代数。，用于表达有向面积、体积及微分形式。

对域扩张 $E/F$，$E{\otimes }_{F}V$ 把 $F$ 上的向量空间扩成允许 $E$ 系数的空间；张量网络则把大张量表示为多个较小张量的连接与缩并。在模论中，Hom–tensor 伴随描述张量映射与 Hom 映射之间的对应，而平坦模公理库平坦模Flat module · Flatness张量后保留所有单射的模；以整数短正合列和局部化证明有理数模平坦但不投射。刻画哪些模在张量后仍保持正合列。

在模层公理库模层Sheaf of modules · O-module sheaf将局部函数作为标量定义模层，计算原点支撑的商层及张量失败，并区分茎、纤维和内部Hom。中，张量先逐开集构造预层再层化，茎上的结果仍为普通模张量积。层的直像与逆像公理库层的直像与逆像Direct image of a sheaf · Inverse image of a sheaf沿连续映射构造层的直像与逆像，通过点嵌入区分芽和点值，并计算逆像与模拉回之间的标量变化。进一步用它改变标量：闭点的普通逆像保留邻域中的芽，模拉回还要张量到剩余域，因而可能删去非零幂零信息。

在 Lie 代数表示中，张量空间上的作用为 $a(u\otimes v)=(au)\otimes v+u\otimes (av)$。sl₂ 的最高权分类与张量算例公理库sl₂ 的有限维不可约表示Finite-dimensional irreducible representations of sl2 · sl2 最高权分类从有限权链证明每个有限维复 sl₂ 不可约表示都是一个对称幂，并以两条显式最高权链完成 V₁⊗V₂ 的直和分解。用这个规则把六维 $V_1\otimes V_2$ 分成四维 $V_3$ 与二维 $V_1$，逐项写出六个基向量，并用两个行列式核验直和性。