L^p 空间

用一种整体尺度衡量函数 ​

函数可能在某些位置很高，却只持续很窄的一段。只看最高点，和计算整段曲线的总量，会得到完全不同的判断。$L^p$ 空间把这些观察整理为一族统一的积分尺度。

设 $E$ 的测度为 $0<a<\mathrm{\infty }$，函数 $f=h{\mathbf{1}}_E$ 是一个高度为 $h\ge 0$ 的尖峰。对有限 $p\ge 1$，

$L^1$ 衡量总量，$L^2$ 衡量平方累积后开根号的大小，$L^{\mathrm{\infty }}$ 看本质最高值。改变 $p$，就是改变对高度与分布范围的权衡。这里的“更强调高峰”描述幂次对大值的放大作用；不同 $p$ 的范数是否单调，还取决于测度空间，不能脱离条件直接比较。

一个积分看出允许怎样的奇点 ​

在 $(0,1)$ 上取 $f(x)=x^{-1/2}$。虽然它在零点附近没有上界，但

当 $p\ge 2$ 时积分发散。因此在本页的范数范围内，$f\in L^p$ 恰好对 $1\le p<2$ 成立，而 $f\notin L^2$、$f\notin L^{\mathrm{\infty }}$。

这说明 $L^p$ 不要求函数处处有界或连续，而要求大值出现的范围与频率足以使相应积分有限。函数能否进入某个 $L^p$，既由高度决定，也由测度决定。

包含关系必须连同测度一起说 ​

若 $0<\mu (X)<\mathrm{\infty }$ 且 $1\le p<q\le \mathrm{\infty }$，Hölder 不等式给出

其中 $1/\mathrm{\infty }=0$。在概率空间上 $\mu (X)=1$，常数变成 $1$，因此较高阶矩有限蕴含较低阶矩有限。

在实数轴的 Lebesgue 测度下，没有这个统一包含方向。函数 $x^{-1/2}{\mathbf{1}}_{(0,1)}$ 属于 $L^1$ 却不属于 $L^2$，问题来自局部奇点；函数 $x^{-1}{\mathbf{1}}_{(1,\mathrm{\infty })}$ 属于 $L^2$ 却不属于 $L^1$，问题来自无穷远处的尾部。一个控制局部尖峰，一个控制缓慢衰减，二者不能相互代替。

计数测度下反而有 ${\ell }^p\subseteq {\ell }^q$（$p<q$）。因为 ${\ell }^p$ 序列有界；当 $q<\mathrm{\infty }$ 时，

当 $q=\mathrm{\infty }$ 时，结论直接来自这份有界性。所以“无限测度”不是一个足以直接推出某个包含方向的标签；具体空间的结构仍然重要。

为什么它是 Banach 空间 ​

当 $1/p+1/q=1$ 时，Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。给出

其中允许端点 $(p,q)=(1,\mathrm{\infty })$。Minkowski 不等式公理库Minkowski 不等式Minkowski inequality$L^p$ 范数满足三角不等式。进一步给出

结合齐次性与取商后的零元条件，这才证明上述公式是范数。Riesz–Fischer 定理则说明它完备：每个 $L^p$-Cauchy 列都有 $L^p$ 极限。因此 $1\le p\le \mathrm{\infty }$ 时，$L^p$ 是Banach 空间公理库Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。。这些是定义之后建立的性质，不需要反过来作为理解定义的前提。[1][2]

完备性的关键机制可以用一段可求和的差来理解。对有限 $p$，从 Cauchy 列中抽出子列，使

Minkowski 不等式控制有限和 $\sum _j|f_{n_{j+1}}-f_{n_j}|$ 的范数，再由Fatou 引理公理库Fatou 引理Fatou's lemma非负可测函数列下极限的积分不超过积分的下极限。得到整个非负级数属于 $L^p$。于是它几乎处处有限，原来的函数差级数几乎处处绝对收敛，定义出一个极限函数；尾和的范数又被 $\sum _{j\ge J}{2}^{-j}$ 控制，所以子列在 $L^p$ 中收敛。最后用原列的 Cauchy 性把收敛推广到全列。$p=\mathrm{\infty }$ 则在移除一个零测集后，用一致 Cauchy 性完成对应论证。

$p=2$ 还有额外结构：

给出的内积诱导 $L^2$ 范数，故 $L^2$ 是 Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。。正交、投影与 Fourier 分解之所以在这里自然，来自这个内积，而不只是来自积分符号。

范数收敛、点态收敛与其他指数 ​

范数收敛与逐点收敛也不同。在 $(0,1)$ 上令 $f_n=n{\mathbf{1}}_{(0,1/n)}$。每个固定 $x>0$ 最终都落在尖峰外，所以 $f_n(x)\to 0$；但 $\Vert f_n{\Vert }_1=1$，因此并不在 $L^1$ 中收敛到零。逐点看，尖峰消失了；从总量看，质量只是集中到越来越窄的区域。

当 $0<p<1$ 时，仍可研究 $\int |f{|}^p<\mathrm{\infty }$ 的等价类，但原公式只给出准范数。例如取两个互不相交、各测度为 $1$ 的集合的指示函数 $f,g$，则

三角不等式失败；不过 $d(f,g)=\int |f-g{|}^{p}d\mu$ 可以给出完备度量。它仍是有用的函数空间，只是不再是由该公式赋范的 Banach 空间。

跨指数与弱端点 ​

临界尖峰可能不在强 $L^p$ 中，却仍满足所有超水平集的幂次衰减；弱 $L^p$ 空间公理库弱 Lp 空间Weak Lp space · Lorentz space Lp-infinity以超水平集的幂次衰减衡量函数大小的空间，可容纳临界尖峰或长尾，但其通常表达式只有拟范数性质。记录这份较弱但有用的控制。空间最大平均公理库Hardy–Littlewood 最大不等式Hardy-Littlewood maximal inequality所有空间半径的局部平均所形成的最大算子满足弱 L1 和强 Lp 控制，核心机制是从重叠球中抽取不交子族。在 $L^1$ 端点正是这种情形：输出可有不可积的长尾，而坏点区域仍受到定量限制。

比较同一算子在不同指数下的行为时，Riesz–Thorin 插值公理库Riesz–Thorin 插值定理Riesz-Thorin theorem线性算子的两个强型 Lp 到 Lq 端点界，通过复解析插值给出倒数指数连线上的几何平均范数界。用两个强型端点控制倒数指数连线；Marcinkiewicz 插值公理库Marcinkiewicz 插值定理Marcinkiewicz interpolation theorem · Weak-type interpolation把函数按输出阈值拆成高低振幅两部分，用不同弱型界分别控制，再对阈值积分得到中间指数的强界。则用随阈值变化的振幅分割，将两个弱端点变成中间强界。它们讨论算子如何搬运范数，与本页单个函数的空间包含关系各有不同职责。

每个连续线性测量都是积分配对 ​

固定有限测度空间 $\mu (X)<\mathrm{\infty }$，并取 $1<p<\mathrm{\infty }$、$q=p/(p-1)$。下面先处理实函数。记 $(L^p{)}^{\prime }$ 为连续线性泛函组成的空间，泛函范数为 $\Vert F\Vert =\underset{\Vert f{\Vert }_p\le 1}{sup}|F(f)|$。对偶表示定理说，每个 $F\in (L^p{)}^{\prime }$ 都唯一对应一个 $g\in L^q$，使

这条结论把抽象的“任何连续测量”变成明确的积分探针。Hölder 不等式已证明每个 $g\in L^q$ 都给出连续泛函；需要证明的是：没有遗漏其他泛函，并且范数恰好相同。[1，§7.5]

先把泛函变成测度。 定义 $\nu (A)=F({\mathbf{1}}_A)$。若 $A_j$ 两两不交且 $A=\bigcup _j{A}_j$，则

连续性因此给出 $\nu (A)=\sum _j\nu (A_j)$。它还是有限总变差的有符号测度：对任意有限可测分割 $(E_j)$，取 ${\epsilon }_j=\mathrm{sgn}\nu (E_j)$，就有

零测集的指示函数是 $L^p$ 的零元，所以 $\nu \ll \mu$；其总变差也绝对连续。Radon–Nikodym 定理的有符号版本公理库Radon–Nikodym 定理Radon–Nikodym theorem在标准 σ-有限条件下，把绝对连续测度表示为参考测度的积分密度。给出 $g\in L^1$，使 $\nu (A)={\int }_{A}gd\mu$。线性性先把 $F(f)=\int fg$ 推广到简单函数；有界可测函数可以由简单函数一致逼近，有限测度和 $g\in L^1$ 又把等式推广到全部有界可测函数。

用截断探针读出正确指数。 此时只知道 $g\in L^1$，还不能直接把 $|g{|}^{q-1}$ 当作合法的 $L^p$ 输入。取有界函数

因为 $(q-1)p=q$，刚才的积分表示和泛函界给出

若 $A_N>0$，相除得到 $A_N^{1/q}\le \Vert F\Vert$；若 $A_N=0$，同一界直接成立。令 $N\to \mathrm{\infty }$，由单调收敛定理公理库单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。得到 $g\in L^q$ 及 $\Vert g{\Vert }_q\le \Vert F\Vert$。现在两边都是 $L^p$ 上的连续泛函，而简单函数在 $L^p$ 中稠密，所以表示式对所有 $f\in L^p$ 成立。Hölder 给出的反向界完成范数相等；若两个密度都表示 $F$，在所有指示函数上取值相等，Radon–Nikodym 的唯一性便说明它们几乎处处相等。

范数最大值也有明确的见证。若 $g\ne 0$，取

直接计算给出 $\Vert f_{\ast }{\Vert }_p=1$ 和 $F(f_{\ast })=\Vert g{\Vert }_q$。例如在 $(0,1)$ 上，$p=3$、$g(x)=x^2$ 时，

验算只用 ${\int }_0^1{x}^{3}dx=1/4$：$f_{\ast }$ 的三次积分为 $1$，而 $F(f_{\ast })=4^{1/3}/4=4^{-2/3}$。这给出整个单位球上的最优测量值，而不只是 Hölder 的一个上界。

复函数的结论相同，若采用复线性泛函，可写成 $F(f)=\int fg$。对 $F$ 在实函数上的实部和虚部分别应用上述表示，再用复线性延拓即可得到复密度；范数见证把 $\mathrm{sgn}(g)$ 换成 $\bar{g}/|g|$，在 $g=0$ 处取零。若改写为内积习惯的 $\int \bar{g}f$，则代表密度相应取共轭，两种记号不能混用。

反身性为什么需要自然的双对偶识别 ​

对有限测度空间再应用一次同一定理：$(L^q{)}^{\prime }$ 是 $L^p$。这还应与原空间嵌入双对偶的方式相符。自然嵌入把 $f$ 送到 $Jf$，定义为

若用 $g\in L^q$ 表示 $F$，那么 $(Jf)(F)=\int fg$，恰好是第二次对偶表示中的同一个 $f$。因此 $J$ 等距且满射，证明 $L^p$ 反身。这不是碰巧找到两个抽象同构，而是每个双对偶元素都来自原来的函数求值。

在有界 Lebesgue 区域内，下一步可直接构造有界函数列的弱收敛子列公理库弱拓扑与弱收敛Weak topology · Weak convergence in a Banach space用连续线性泛函定义收敛，在 Hilbert 和有限 Lebesgue 区域的 Lp 空间中构造有界序列的弱子列，并辨认端点集中与弱星紧性的边界。：先在可数个稠密 $L^q$ 探针上抽取，再用对偶表示将全部极限读数还原成 $L^p$ 函数。链接页证明这一过程，并解释 $p=1$ 的单位质量尖峰为何没有弱收敛子列。有限测度、$1<p<\mathrm{\infty }$ 是本页上述证明的明确范围；$L^1$ 与 $L^{\mathrm{\infty }}$ 的端点对偶不构成同样的反身结论。