行列式

把方阵的列看作一个有向平行多面体的边，行列式就是它相对单位体积的缩放因子。某一列乘 $c$，体积也乘 $c$；两列相同，图形压扁而体积为零；交换两列，定向翻转。这个图像直接解释乘法性：先施加 $B$、再施加 $A$，总体尺度是两个缩放因子的乘积。

体积图像对应实数域；交替多线性定义和 Leibniz 公式则适用于任意交换含幺环，因此也覆盖整数矩阵公理库矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。与多项式矩阵。在这些环中，行列式通过单位群判断矩阵是否可逆，下面的整数例子会展示区别。

二阶公式为

对上三角矩阵，Leibniz 展开中只有恒等置换可能留下非零项，所以行列式是对角元之积。域上的 Gaussian 行消元公理库行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。可用 $O(n^3)$ 次算术运算化为三角形：交换两行使行列式变号，一行乘 $c$ 使其乘 $c$，把一行的倍数加到另一行则不变。跟踪这些变化，再取最终对角元之积，就得到原行列式。

在一般交换环公理库交换环Commutative ring乘法满足交换律的环。上，消元中的除法要求主元是单位。整环上可用 Bareiss 算法把除法组织为精确整除；更一般的环可使用只含加、减、乘的行列式算法。

整数矩阵 $\mathrm{diag}(2,1)$ 的行列式为 $2\ne 0$，却不在 $M_2(\mathbb{Z})$ 中可逆，因为 $2\notin {\mathbb{Z}}^{\times }=\{\pm 1\}$。扩张到 $\mathbb{Q}$ 后，它有逆矩阵 $\mathrm{diag}(1/2,1)$；障碍正是逆矩阵的条目离开了整数环。

行列式对每一列分别线性，对整个矩阵则不是线性函数。例如在实数域取 $A=B=I_2$，有 $\det (A+B)=4$，而 $\det A+\det B=2$。矩形矩阵的相应信息由各阶方形子式及秩描述。

在实平面中，旋转矩阵的行列式为 $1$，反射矩阵的行列式为 $-1$：二者都保持面积绝对值，只有反射翻转定向。$|\det A|$ 给出面积缩放，符号记录定向。

对交换环上的有限自由模自同态，行列式在选定基下计算，换基时相似矩阵具有相同行列式，因此结果与基无关。它定义特征多项式公理库特征多项式Characteristic polynomial由 det(λI−T) 定义并编码线性算子特征值的多项式。 $\det (\lambda I-A)$，并在域上给出 Cramer 法则与可逆性判据。Cramer 法则用行列式的比值写出每个解坐标，适合显式推导；大型线性系统则通过一次矩阵分解求解，节省逐个计算行列式的工作。

实数行列式的大小与求解敏感性是不同的量。例如 $A=\epsilon I_2$ 在 $\epsilon \ne 0$ 时的二范数条件数为 $1$，行列式却是 ${\epsilon }^2$；$B=\mathrm{diag}(M,1/M)$ 在 $M\ge 1$ 时的行列式为 $1$，条件数却是 $M^2$。线性系统条件性公理库线性方程组的条件数与扰动Conditioning of linear systems · Matrix condition number把一般问题条件性具体化为可逆线性系统的右端、系数矩阵与联合扰动界。衡量的是不同方向的相对缩放差异。

分析中的 Jacobian公理库Jacobian 矩阵Jacobian matrix多元映射各偏导数组成并表示其导数的矩阵。 行列式度量同维映射的局部体积畸变，并作为顶次微分形式拉回的系数。一般 $k$-形式的拉回由导数矩阵的 $k$ 阶子式控制；坐标无关地说，这正是导数在第 $k$ 次外幂上的诱导映射。特别地，$\det T$ 是 $T$ 在顶次外幂 ${\mathrm{\Lambda }}^{n}V$ 上诱导的标量。

多项式行列式还把变号规律转成整除性。Schur 基的交错商构造公理库对称函数与 Schur 基Symmetric function · Schur function · Schur polynomial · Schur basis · 舒尔函数按固定总次数稳定有限变量的对称多项式，以交错行列式除以 Vandermonde 构造 Schur 基，并从三变量恒等式复算 s21 的值。对 $\det \left(x_i^{{\lambda }_j+n-j}\right)$ 除去 Vandermonde 因子 $\prod _{i<j}(x_i-x_j)$，证明商是对称多项式并构成齐次基。分拆 $(2,1)$ 的三变量分子是平方变量的 Vandermonde 行列式，约分后得到 $(x+y)(x+z)(y+z)$；即使变量重合，所得多项式仍有确定的值。