集合

可以把集合看成一份只回答“在不在其中”的成员记录。它不记录存储地址、加入时间或重复次数；所以程序中两份占用不同内存的集合对象，仍可能表示同一个数学集合。列表、多重集合和图还要记录顺序、重数或连接方式，这些信息不是底集自动提供的。

集合也能作为另一个集合的元素。关键是先认清当前正在数哪一层：$\varnothing$ 没有元素，$\{\varnothing \}$ 有一个元素，那个元素恰好是空集；$\{\{\varnothing \}\}$ 也有一个元素，但那个元素是“装着空集的单元素集”。花括号不是可以随意省略的装饰。

这种层次也解释了幂集理路幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。：$\mathcal{P}(A)$ 的元素不是通常意义下“从 $A$ 抽出的一个成员”，而是 $A$ 的整个子集。若 $a\in A$，则 $\{a\}\subseteq A$，进而 $\{a\}\in \mathcal{P}(A)$；同时 $A\subseteq A$，所以 $A\in \mathcal{P}(A)$。从“成员”提升到“成员组成的集合”，会改变正在讨论的对象。

同一对象上的两个问题 ​

令 $A=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$。逐项查看便有

第一式是因为空集被直接列为成员；第二式则是因为空集没有任何元素可以违反包含条件。第三式检查另一个直接列出的成员，第四式只需检查 $\varnothing \in A$。四式虽然都成立，理由分别对应“查看成员名单”和“逐元素核对”。

成员关系不具有传递性。取 $B=\{\varnothing \}$、$C=\{B\}$，有 $\varnothing \in B$ 和 $B\in C$，但 $\varnothing \notin C$。反之，包含关系具有传递性：$A\subseteq B\subseteq C$ 时，$A$ 的元素经由 $B$ 仍是 $C$ 的元素。

从成员判断得到集合运算 ​

并集 $A\cup B$ 收集至少属于一边的对象，交集 $A\cap B$ 收集同时属于两边的对象，差集 $A\setminus B$ 保留属于 $A$ 却不属于 $B$ 的对象。例如 $A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$ 时，它们依次为 $\{1,2,3\}$、$\{2\}$、$\{1\}$。

幂集理路幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。 $\mathcal{P}(A)=\{S:S\subseteq A\}$ 的成员是 $A$ 的所有子集。若 $A=\{a,b\}$，则

这里空集和 $A$ 自身都必须出现。若有限集 $A$ 有 $n$ 个成员，每个成员都有“选入或不选入”两种选择，故其幂集有 $2^n$ 个成员。

顶点与边为什么要分清 ​

设网络的顶点是三个不同标签 $u,v,w$，有向边表示为有序对理路有序对Ordered pair区分第一、第二分量且由分量逐项相等刻画相等性的二元对象。，并约定顶点标签与边记录是不同类型的对象。于是

$u$ 是顶点，$(u,v)$ 是边记录；$E$ 的元素是有序对，$E$ 本身是笛卡尔积理路笛卡尔积Cartesian product · Direct product of sets由各坐标分别取值形成的有序元组集合；二元情形记作 A×B。的一个子集。把 $(u,v)$ 改写为 $\{u,v\}$ 会丢失方向。这里的类型区分是建模约定，并不是集合论禁止“某个有序对恰好又被选作顶点”；需要区分时，可以用标签明确区分。

花括号并不保证存在 ​

在纯 ZF 集合论理路ZF 集合论公理系统ZF set theory · Zermelo–Fraenkel set theory以成员关系为唯一非逻辑关系，并受控规定集合存在性的标准一阶公理系统。中，所有对象都是集合，成员关系 $\in$ 是基本符号。日常的数、点、函数可以通过集合编码，但使用它们时通常不展开这些编码。

ZF 的分离模式允许在已有集合内按性质筛选，不能由任意性质直接制造集合。假设无条件允许

就会得到 $R\in R⟺R\notin R$，即 Russell 悖论。因此“所有集合组成的集合”不存在；“所有序数”也不是一个集合，可以在元语言中作为真类讨论。限制成集规则保护的是论证的一致性，而不是禁止描述这些总体。[2,3]

受限版本 $R_A=\{x\in A:x\notin x\}$ 则确实存在。它不会导致矛盾，而是推出 $R_A\notin A$：只有再假设 $R_A\in A$，才会出现 $R_A\in R_A⟺R_A\notin R_A$。所以任何给定集合 $A$ 都不可能包含所有集合；关键区别是先有筛选范围，还是无条件收集所有对象。

外延性给出一个非常实用的证明方法：要证集合相等，分别证明两边包含；要证不等，找一个只属于其中一边的元素。表达式长得不同，并不妨碍它们具有相同成员。

分配律 $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ 的完整逐元素证明见集合运算理路集合运算Set operations · Union, intersection, difference用逻辑条件逐元素定义并、交、差、补与对称差，并扩展到集合族。。这类证明先展开任意对象的成员条件，再由外延性得到集合等号；只检查几个列出的元素还不够。

从集合出发，乘积把选择装入坐标，关系理路关系Relation · Binary relation带源集与目标集的二元关系，其底层关系图是 A×B 的子集。挑选允许出现的对象对，函数理路函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。再要求每个输入恰有一个输出。给同一底集添加不同运算、次序或测度，则会得到不同数学结构。外延性判断底集是否相同；附加结构是否相同，还要核对各自的数据。

统一的集合编码让这些对象可以放进同一基础体系；抽象使用则让证明只依赖公开的相等判据和操作规则。区分这两层，既能追问对象如何构造，也不会把某种底层编码的偶然成员关系误当成数学性质。