多项式环

多项式是只有有限多个非零项的系数表，形式幂 $x^i$ 标明第 $i$ 个位置。相乘时，来自 $a_i{x}^i$ 和 $b_j{x}^j$ 的项进入第 $i+j$ 个位置，所以同一次数的所有贡献必须相加；这正是卷积公式的来源。

求值是第二步：指定元素 $s$，把每个 $x^i$ 替换为 $s^i$。多项式环先保留全部系数信息，所以当 $R$ 非零时，$x^2$ 与常数 $1$ 是不同的元素。若要施加关系 $x^2=1$，可取商环理路商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。 $R[x]/(x^2-1)$；在商环里，$x^2$ 的剩余类与 $1$ 的剩余类相等。

在 $\mathbb{Z}[x]$ 中，$(1+2x)(3+x)=3+7x+2x^2$。中间系数 $7$ 来自 $1\cdot x$ 和 $2x\cdot 3$ 两项相加，具体展示了卷积如何收集同次项。

在有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 上，形式多项式 $x^p-x$ 非零，却在每个域元素处取值为零。因此它与零多项式具有相同的求值函数，但系数表不同：$x^p$ 的系数分别为 $1$ 和 $0$。多项式相等要求系数逐项相等，求值映射则可以合并不同的多项式。

Schwartz–Zippel引理理路Schwartz–Zippel引理Schwartz–Zippel lemma · Schwartz-Zippel lemma · 施瓦茨–齐佩尔引理控制非零多元多项式在独立均匀网格上的零点比例，分清总次数、底域、随机性和有限域函数边界。将这个区别量化：固定非零多元多项式在独立均匀网格上的零点率至多总次数除以每轴点数。当次数达到底域大小时，界可以退化为1；多项式恒等式测试理路多项式恒等式测试Polynomial identity testing · PIT对形式多项式电路逐门随机求值，以次数预算给出单边漏检界，保留非零见证并处理小域与位成本。因此同时记录形式次数、采样集合及同特征扩域，而不是把多次零值直接当成系数全零的证明。

系数相乘为零时，乘积的最高次项可能消失。例如在 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]$ 中，$2x$ 是一次非零多项式，却满足 $(2x{)}^2=0$。整环中的次数相加规律正是由首项系数的乘积非零来保证的。

若 $R$ 是整环，则 $R[x]$ 也是整环，非零多项式满足 $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$。若 $F$ 是域，则 $F[x]$ 具有 Euclidean 除法结构；进一步引入非零多项式作为分母，得到有理函数域理路有理函数Rational function · 有理式由两个多项式之商表示，并按交叉相乘关系识别相等表示的函数域元素。 $F(x)$。其中 $f/g$ 与 $h/q$ 相等的条件是 $fq=hg$，与整数分式约分的规则一致。

若要在多元商环中继续区分各个次数，需要分次环与齐次理想理路分次环与齐次理想Graded ring · Homogeneous ideal通过二次关系逐层算维数，说明齐次理想何以允许商分次，并区分齐次局部化与零次比例环。。关系 $xz-y^2$ 保持次数，其商环第 $m$ 层有 $2m+1$ 个基元素；关系 $x-1$ 却把次数1与次数0识别，不能继承原分次。

在实数或复数上，次数至多 $n$ 的多项式既可用系数表示，也可用 $n+1$ 个互异节点的取值表示。给定节点 $x_0,\dots ,x_n$，Lagrange 多项式

在第 $i$ 个节点取 $1$、其余节点取 $0$，因此 $f(x)=\sum _{i}f(x_i)L_i(x)$。这给出多项式插值理路多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。的点值表示；差商与 Newton 形式理路差商与 Newton 插值形式Divided differences · Newton interpolation用递归差商构造可增量扩展的 Newton 插值表示，并以嵌套乘法在线性时间求值。则便于逐个加入节点。

节点差的可逆性在这里有实际作用：整数系数多项式满足 $f(2)-f(0)$ 为偶数，所以不存在同时满足 $f(0)=0$、$f(2)=1$ 的 $f\in \mathbb{Z}[x]$。

求值同态还描述了代数元满足的全部多项式关系。若 $\alpha$ 代数于域 $F$，则映射 $F[x]\to F[\alpha ]$ 的核由 $\alpha$ 的极小多项式理路极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。 $m$ 生成，从而 $F[x]/(m)\cong F[\alpha ]$。多项式环与商环由此把“添入一个根”变成明确的代数构造。

在多元多项式环 $R[x_1,\dots ,x_n]$ 中，还可要求交换变量的编号后多项式保持不变。对称多项式基本定理理路对称多项式与 Newton 恒等式Symmetric polynomial · Elementary symmetric polynomial · Newton identities · 基本对称多项式 · 牛顿恒等式证明每个对称多项式唯一由基本对称式表示，并用 Newton 恒等式在根的幂和与首一多项式系数之间计算。说明，这个子环恰由基本对称式 $e_1,\dots ,e_n$ 自由生成；证明逐项消去首单项式，不除以系数，因此对有零因子的非零交换环也成立。把变量看成一组根，就能把对称的根表达式转成首一多项式的系数计算。

Laurent 多项式也能保存拓扑计算：Jones 多项式的状态模型理路Jones 多项式与 Kauffman 括号Jones polynomial · Kauffman bracket把两个平滑的状态和归一化为 Jones 多项式，逐项核验扭圈校正并完整求出三叶结的八状态和。把每个交叉展开成两种平滑，并用 writhe 抵消小扭圈因子。另一类应用来自模素数因式分解：Dedekind 分解判据理路Dedekind 素理想分解判据Dedekind factorization theorem在素数不整除幂基指数时，由模 p 多项式的重数与次数读取素理想分解；完整展示坏指数素数的误判与修正。在素数不整除幂基指数时，把不可约因子次数与重数转成数域中素理想的剩余次数和分歧指数。

把系数固定为有理数后，还可以用多项式得到精确的实根证书。根界理路多项式的根界Polynomial root bounds · Cauchy root bound · 多项式的 Cauchy 根界用系数的绝对值给全部复根一个严格外界，再通过倒数多项式与变量缩放构造可核验的实根搜索范围。先把全部根限制在有限范围，Sturm计数理路Sturm 多项式实根计数Sturm theorem for real polynomial roots · Sturm sequence · 多项式的 Sturm 定理用带负号的多项式余式链在区间两端数变号，证明其差恰为不同实根数，并明确零项、重根和根端点的处理。再由负余式链给出区间内的不同根数；这两步不要求先求出根式。随后可为每个根建立有理隔离区间，既不漏根，也不依赖绘图精度。

有限域函数约简何时会丢掉需要保存的信息 ​

线性化多项式理路线性化多项式与有限域算子代数Linearized polynomial operator algebra · q-polynomial and Dickson matrix用q幂多项式唯一表示有限域上的全部底域线性算子，构造迹插值、Moore与Dickson矩阵、复合逆及迹伴随的可解性证书。只保留 $X^{q^i}$ 幂，表示有限域上的底域线性算子；其算子乘法是复合，不是本页的Cauchy卷积。函数层可按 $X^{q^n}=X$ 约简，但必须先说明正在识别同一个函数，而非同一个形式多项式。

子空间根积理路子空间多项式的交、和与核计算Subspace polynomial calculus · Finite-field subspace annihilator polynomial以首一线性化根积唯一编码有限域子空间，逐基递推构造，再用普通gcd算交、复合算和，并提取线性算子的核与像。恰需保留形式信息：全域的首一根积 $X^{q^n}-X$ 虽代表零函数，仍记录普通次数与全部简单根。两子空间的交由普通gcd得到，和则由取像后的形式复合得到；普通lcm只有并集的根，未必补上线性组合。