多元函数导数

在一点附近放大函数图像，线性主部描述逐渐显现的仿射近似。Jacobian 的每列记录一个坐标方向引起的输出变化；将它们按位移 $h$ 的坐标加权相加，就得到 $Df(a)h$。因此一个矩阵可以同时预测任意方向的一阶变化。

导数、Jacobian 与梯度的层次 ​

$Df(a)$ 是从输入增量到输出一阶变化的线性映射。Jacobian 是选择定义域与陪域基之后的矩阵；换基会改变条目，却仍表示同一个 $Df(a)$。在固定的坐标系中，矩阵乘向量就是这一映射的计算方式。

当输出为实数时，$Df(a)$ 是线性泛函。选定 Euclidean 内积后，Riesz 表示把它写成向量 $\mathrm{\nabla }f(a)$；若把内积改为 $⟨u,v{⟩}_G=u^{\mathrm{\top }}Gv$，表示同一泛函的梯度会变为 $G^{-1}\mathrm{\nabla }f(a)$。导数没有改变，改变的是用哪个向量代表它。这一点在自然梯度、流形优化和条件数分析中尤其重要。

取 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$，

在点 $(x,y)$，导数是线性映射

其标准基下的 Jacobian 为

第一个式子直接给出输入增量的像，第二个式子把同一规则按标准坐标排列。本例的各偏导连续，因此满足可微性的充分条件。

连续偏导的作用可以从沿坐标轴逐步移动看出。把 $f(a+h)-f(a)$ 拆成每次只改变一个坐标的增量，再对每个输出分量逐段应用一元中值定理理路中值定理Mean value theorem由等高端点与内部极值导出平均变化率，区分 Lagrange、Rolle、Cauchy 版本并给出可计算的增量界。；偏导在 $a$ 的连续性使这些系数统一接近 $J_f(a)$ 的相应条目，剩余误差便是 $o(\Vert h\Vert )$。

所有方向导数存在也可能缺少线性相容性。取

沿单位方向 $v=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 有 $f(tv)/t={\cos }^3\theta$，故原点处所有方向导数都存在；但 $v\mapsto {\cos }^3\theta$ 不是 $v$ 的线性函数，因此 $f$ 在原点不可微。这个反例揭示了核心缺口：逐方向极限必须拼成统一线性映射，才可能成为全微分。

导数在邻域中的变化也很关键。令 $g(0)=0$，$g(x)=x+2x^2\sin \left(1/x\right)$（$x\ne 0$），则 $g^{\prime }(0)=1$，但 $g^{\prime }(x)=1+4x\sin \left(1/x\right)-2\cos \left(1/x\right)$ 在任意零点邻域内都有正值和负值。连续的一元单射必须严格单调，而这些导数符号排除了两种单调性，所以 $g$ 在任何零点邻域都不可逆。

有限维空间中所有范数等价，因此更换范数不改变可微性；无限维中则以选定的赋范结构理路赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。衡量余项，不等价的范数可以改变收敛及可微性质。

链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。在此框架下就是线性映射的复合：若 $f$ 在 $a$ 可微、$g$ 在 $f(a)$ 可微，则

对应 Jacobian 矩阵相乘。特殊情形各有名字：$m=1$ 时 $Df(a)$ 由梯度理路梯度Gradient标量函数微分在内积下对应的向量。经内积表示；$n=1$ 时它给出曲线的速度向量。

标准 $C^1$ 反函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。要求 $m=n$、$f$ 在 $a$ 的开邻域连续可微，且 $Df(a)$ 可逆。它据此给出邻域上的 $C^1$ 逆映射，并满足 $D(f^{-1})(f(a))=(Df(a){)}^{-1}$。导数连续性把一点的可逆线性近似连接到附近的非线性映射。

隐函数定理理路隐函数定理Implicit function theorem当相关偏导块可逆时，方程组局部可把部分变量表示为其余变量的函数。则针对约束 $F(x,y)=0$：在 $C^1$ 条件下，若对待解变量 $y$ 的导数块可逆，就能在局部把 $y$ 表示为 $x$ 的函数。所选导数块对应要解出的变量。

在数值分析中，$\Vert Df(a)\Vert$ 衡量单位输入位移的一阶最大输出，是问题条件性理路问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。的局部量。若 $f$ 在凸区域内处处可微且导数范数统一有界，则可沿线段应用一元中值估计，将这个统一界转为区域上的 Lipschitz 界。

标量函数的二阶 Fréchet 导数由Hessian 矩阵理路Hessian 矩阵Hessian matrix · Hessian标量函数二阶 Fréchet 导数在坐标中的矩阵表示，用于描述局部曲率与二次近似。表示，把多元 Taylor 展开的二次项与局部曲率集中到一个双线性形式中。二阶偏导只有在适当正则性下才可交换。

优化中的一阶必要条件 $\mathrm{\nabla }f(a)=0$、Newton 法理路Newton 非线性方程法Newton's method · Newton-Raphson method · Newton method for nonlinear systems在当前点解一阶线性化方程来修正非线性方程的近似解，并分析其局部二次收敛与失效边界。的线性化步骤都直接使用本定义；把定义域从开集换成流形，导数升级为切空间理路切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。之间的切映射，符号仍是同一个 $Df$。