笛卡尔积

笛卡尔积回答“每个坐标各选一个，全部可能组合是什么”。把 $A$ 写成行标签、$B$ 写成列标签，$A\times B$ 就是整张表的格子。它与并集的任务不同：$A\cup B$ 收集至少属于一边的元素，$A\times B$ 的一个元素同时携带两边的信息，并保留各自位置。

这幅坐标图像来自解析几何。平面以 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 为载体，曲线再作为其中满足方程的子集出现。相同做法也适用于状态空间、参数空间和数据库记录：积先列出类型正确的全部候选，额外条件再从中筛出可行对象。

设课程集合 $C=\{\text{算法},\text{实验}\}$，教室集合 $R=\{101,102,103\}$。先固定算法课，依次配上三个教室；再固定实验课，同样配上三个教室，得到

总共 $2\cdot 3=6$ 个候选。若只有 $103$ 配有实验设备，且暂不考虑其他限制，可行关系 $F$ 就保留三种算法课配对和 $(\text{实验},103)$，共四个元素。积负责列全候选，约束负责筛选；不能把六个候选直接当成六个可行安排。若再要求两门课同时上课且不能共用教室，还需在完整安排之间检查冲突，单个课程—教室配对本身不包含这项信息。

若误写成 $C\cup R$，一条记录只会是某门课或某个教室，配对信息随即消失。

若 $A=\varnothing$ 或 $B=\varnothing$，则 $A\times B=\varnothing$，因为不存在满足两个坐标条件的有序对。反过来，对二元积而言，两个因子都非空便可各取一个元素，从而积非空。把这句话推广到任意集合族就跨过了公理边界：所有 $A_i$ 非空是否必有 $\prod _i{A}_i\ne \varnothing$，在 ZF 上等价于选择公理理路选择公理Axiom of choice · AC把任意集合族中逐个存在的元素同时汇成一个选择函数的公理。。

空族的积与“有一个空因子”的积尤其容易混淆。没有坐标时，不需要作任何选择，唯一结果是空元组；有一个空坐标时，却被要求从空集中取值，因而没有结果。

次序和括号也不能按集合相等随意擦去。一般 $A\times B\ne B\times A$，但 $(a,b)\mapsto (b,a)$ 给出自然双射；同样，$((a,b),c)$ 与 $(a,(b,c))$ 是不同对象，却可经平坦化对应到同一个三元组。因而积在“自然同构”意义下交换、结合，不是字面相等。

二元关系理路关系Relation · Binary relation带源集与目标集的二元关系，其底层关系图是 A×B 的子集。以 $A\times B$ 的子集为图，函数理路函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。再要求每个 $a\in A$ 恰与一个 $b\in B$ 配对。关系与函数由此共享同一载体，差别落在子集满足的约束上。

若 $A,B$ 有限，则

这就是乘法原理的集合形式；基数算术理路基数算术Cardinal arithmetic用不交并、笛卡尔积和函数集定义基数的加法、乘法与指数运算。把同一定义延伸到无限集合。拓扑、代数和概率论还会在积集合上添加乘积拓扑、逐坐标运算或乘积测度。底层写成积只描述可能的元组，既不自动赋予坐标独立性，也不规定可见性或计算成本。