内积空间

向量空间只规定怎样叠加与缩放；内积进一步测量两个方向的配合程度。正定性保证非零向量拥有正长度，共轭对称性使复空间的自配对仍为实数，线性性则使配对能随向量叠加而分解。

对一个非零方向 $u$，尝试把 $v$ 写成 $v=cu+r$，并要求余量 $r$ 与 $u$ 正交。代入 $⟨u,v-cu⟩=0$，得到

分母是 $u$ 的正长度平方。若 $v=au$，公式便还原出系数 $a$；若 $v$ 有垂直于 $u$ 的部分，那部分与 $u$ 配对为零，不影响系数。这里把 $v$ 放在线性的第二个位置，正好让配对提取出它沿 $u$ 的系数。

从坐标到函数 ​

标准内积为

共轭使自配对变成模长平方之和。例如 $v=(1,i)$ 满足 $v^{\mathsf{T}}v=1+i^2=0$，而 $⟨v,v⟩=1+\bar{i}i=2$。

在 $C([0,2\pi ],\mathbb{C})$ 上，

也是内积。若连续函数在某一点非零，它在附近一段区间内的模都被某个正数下界控制，因此积分为零只能来自零函数。计算 ${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos xdx=0$，便得到两个函数方向正交。

加权形式 $x^{\ast }Ay$ 是复内积，当且仅当 $A$ 为 Hermitian 正定矩阵；实情形对应对称正定矩阵。$A=\mathrm{diag}(1,0)$ 只有半正定性，会让非零向量 $(0,1)$ 长度为零。$A=\mathrm{diag}(1,-1)$ 虽非退化，却给出负的自配对，也不是内积。

复数投影的直接核对 ​

在 ${\mathbb{C}}^2$ 中取 $u=(1,i)$、$v=(1,0)$，有 $⟨u,v⟩=1$、$⟨u,u⟩=2$。投影和余量分别是

直接计算 $⟨u,r⟩=1/2+(-i)(-i/2)=0$，并有 $\Vert Pv{\Vert }^2=\Vert r{\Vert }^2=1/2$。投影不因把 $u$ 改成非零标量倍 $cu$ 而改变，因为系数中的 $\bar{c}/|c{|}^2$ 恰好抵消向量上的 $c$。

范数、内积与完备性 ​

内积诱导范数满足平行四边形恒等式公理库平行四边形恒等式的内积刻画Jordan–von Neumann theorem · Parallelogram law characterization范数来自实或复内积，当且仅当它满足平行四边形恒等式。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 的最大范数下，取 $x=(1,0),y=(0,1)$，左边为 $2$，右边为 $4$，所以这个范数不来自任何内积。

完备性关心 Cauchy 序列的极限是否仍在空间中。以 $C([-1,1],\mathbb{R})$ 的积分内积为例，令 $f_n$ 在 $x\le -1/n$ 时为 $0$，在 $[-1/n,1/n]$ 上线性升到 $1$，在 $x\ge 1/n$ 时为 $1$。它与阶跃函数 $h={\mathbf{1}}_{(0,1]}$ 只在长度 $2/n$ 的区间内不同，故 $\Vert f_n-h{\Vert }_2^2\le 2/n$。由三角不等式，$\Vert f_n-f_m{\Vert }_2\le \Vert f_n-h{\Vert }_2+\Vert f_m-h{\Vert }_2$ 趋于零，所以 $(f_n)$ 是 Cauchy 序列。

它却不能在连续函数空间中收敛：任何候选极限都须几乎处处等于 $h$，而连续性会迫使它在左侧恒为 $0$、右侧恒为 $1$，在原点矛盾。因此这个内积空间不完备；完备的内积空间称为Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。。

一个正交余量带来两条基本不等式 ​

对 $u\ne 0$，将 $v$ 分解为投影 $Pv$ 与正交余量。非负的余量平方给出

所以

这就是Cauchy–Schwarz 不等式公理库Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。；非零情形等号对应余量为零，即线性相关。再展开 $\Vert u+v{\Vert }^2$，并用 $\mathrm{Re}⟨u,v⟩\le |⟨u,v⟩|$，便得三角不等式。

对实空间中的两个非零向量，可据此定义夹角：$\cos \theta =⟨u,v⟩/(\Vert u\Vert \Vert v\Vert )$。复空间若视为实向量空间，$\mathrm{Re}⟨u,v⟩$ 给出相应的实内积，可用同一公式定义实夹角；完整的复内积还保留相位信息。

正交坐标与最近点 ​

对线性无关组使用Gram–Schmidt 过程公理库Gram–Schmidt 正交化Gram–Schmidt process把有限线性无关组逐步转化为张成同一子空间的正交规范组。，每一步减去已有方向的投影，再归一化。若 $(e_1,\dots ,e_k)$ 是子空间 $M$ 的标准正交基，则

任意 $m\in M$ 都满足

右边第二项在且仅在 $m=P_{M}v$ 时为零，所以 $P_{M}v$ 是唯一最近点。这个有限维投影由有限次求和直接构造，适用于任意内积空间。若 $M=V$，就得到坐标展开与有限维 Parseval 等式 $\Vert v{\Vert }^2=\sum _j|⟨e_j,v⟩{|}^2$。

Hilbert 空间中的闭子空间由投影定理公理库Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。保证同样的最近点分解。最小二乘和 Fourier 逼近沿用这一机制：最佳误差与允许的修正方向正交，完备性则使无限逼近过程的范数极限仍留在环境空间中。

保持内积的有限维线性自同构，在标准正交基下由正交矩阵或酉矩阵表示。列向量正交规范的长方矩阵 $Q$ 满足 $Q^{\ast }Q=I$，给出等距嵌入；$Q{Q}^{\ast }$ 则是到其列空间的正交投影。这里的共轭转置正是伴随算子公理库伴随算子Adjoint operator有限维内积空间中把线性映射从内积一侧移到另一侧的唯一算子。在标准正交坐标下的矩阵。