随机变量

随机变量首先是一个确定的函数。掷两枚骰子时，可以令 $\omega =(d_1,d_2)$ 记录完整结果，再令 $X(\omega )=d_1+d_2$ 只记录总点数。样本点 $(1,5)$ 与 $(2,4)$ 不同，却都被映到 $6$；事件 $\{X=6\}$ 则收集所有总点数为 $6$ 的样本点。函数负责把问题翻译回样本空间，概率测度负责给这些样本点组成的事件赋概率。所谓随机来自尚未观察到哪个 $\omega$，不是说映射规则本身不确定。

可测性保证关于输出的合法问题可以翻译成关于样本的事件。例如 $X$ 为实值时，询问“$X\le x$”就是逆像 $X^{-1}((-\mathrm{\infty },x])$；若这个集合不属于 $\mathcal{F}$，概率 $\mathbb{P}(X\le x)$ 连定义都没有。可测性只提供“输出可被概率测量”的最低兼容条件，不承诺连续、平滑或可计算。

随机变量、它的分布和一次实现处在三个层级。$X$ 是整个映射；$\mathcal{L}(X)$ 忘掉样本来源，只保留输出事件概率；$X(\omega )$ 是一次具体观测。分布可以决定一切单变量概率问题，却不保留 $X$ 与其他变量在同一样本点上怎样共同变化。

对事件 $A\in \mathcal{F}$，指示变量

把集合事件编码成数值随机变量，并满足 $\mathbb{E}{\mathbf{1}}_A=\mathbb{P}(A)$。这条简单翻译让事件的并交问题进入代数与积分：计数变量常可写成许多指标之和，再利用期望线性性处理。

在无限抛硬币空间中，令 $T$ 为第一次出现正面的时刻，若永不出现则取 $\mathrm{\infty }$。对每个有限 $n$，

是柱事件；这些阈值事件足以验证 $T$ 对 $\mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ 的自然 $\sigma$-代数可测。这个例子说明，可测性通常通过一族容易描述的生成事件来证明，从而免去逐个枚举目标空间中的所有可测集。

同分布的两个随机变量仍可能是不同函数。若 $X$ 是公平比特，则 $X$ 与 $1-X$ 同分布，但它们在同一空间上完全反向；另取一个独立公平比特 $Y$，也有 $Y\stackrel{d}{=}X$，却产生不同联合结构。因此

反方向不成立，同分布也不要求二者定义在同一概率空间。

形式上写得出的函数不一定是随机变量。若存在 $B\in \mathcal{S}$ 使 $X^{-1}(B)\notin \mathcal{F}$，那么 $X$ 在当前可测结构下不可测。扩大 $\mathcal{F}$ 也许能让它可测，却同时改变了模型允许观察的信息；不能把这一步当作无成本的记号修补。

若 $g:(S,\mathcal{S})\to (T,\mathcal{T})$ 可测，则 $g(X)$ 仍是随机元素，因为

同时 $\sigma (g(X))\subseteq \sigma (X)$：对观察值做确定性后处理不会创造关于原样本的新信息。绝对值、截断、阈值指标与统计量都属于这一原则的实例。

有限个实随机变量合成随机向量公理库随机向量Random vector · 多维随机变量一次随机试验同时输出有限多个实坐标所形成的可测映射。，按时间索引的一族随机变量形成随机过程公理库随机过程Stochastic process · Random process由同一随机实验产生、按时间或空间指标组织的一族随机变量。。联合分布公理库联合分布Joint distribution · 联合概率分布多个随机元素组成的向量所推出的概率测度，完整记录边缘与依赖结构。记录多个坐标怎样同现，独立性公理库独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。则比较它们生成的 $\sigma$-代数。单变量分布、联合规律和信息结构由此被放在同一可测映射框架中。

期望公理库期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。只依赖 $X$ 的分布，因此可在取值空间上积分；条件期望却还依赖 $X$ 与条件信息怎样共同出现。统计量也是随机变量，只是它从整份样本中提取数值。估计量这一函数、它在重复抽样下的分布和数据到手后的一个估计值，正对应这里的三个层级。

随机变量也可沿一次实际记录递推，而不必每步重新独立抽样。Lindley 递推公理库Lindley 等待时间递推Lindley recursion逐位顾客更新未完成工作量，用反射随机游走解释单服务台等待及其稳定条件。把单服务台的等待写成 $W_{n+1}=(W_n+S_n-A_n{)}_{+}$；恒等式逐条路径成立，独立性只在进一步证明稳态规律时进入。